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1、【备战2017年高考高三数学一轮热点、难点一网打尽】第45讲直线与圆锥曲线的位置关系之中点弦.焦点弦问题签考纲要求:1.掌握解决直线与椭>抛物线的位置关系的思想方法.2•了解圆锥曲线的简单应用.3理解数形结合的思想.基础知•识回顾：1.直线与圆锥曲线相交时的弦长问题⑴斜率为&的直线与圆锥曲线交于两点Pg,/）,A（X2,比），则所得弦长:PP2=+"X-~X22—4xi屁］=寸1+护•x-xi=y+y22—4戸乃］=（2）斜率不存在时，可求出交点坐标，直接运算（利用坐标轴上两点间距离公式）.2
2、.圆锥曲线的中点弦问题遇到弦中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解.222在椭圆牛+纟=1中，以Fg,勿为中点的弦所在直线的斜率&=—£气abajo22r2在双曲线刍一纟=1中，以必）为中点的弦所在直线的斜率治孕；aba在抛物线声=2刀@>0）中，以戶（尬如为中点的弦所在直线的斜率k=~.Jo在使用根与系数关系时，要注意使用条件是/ao・逼应用举例：类型一弦的中点问题例1.已知一直线与椭圆4?+9/=36相交于儿〃两点，弦力〃的屮点坐标为#（1,1）,则直线力〃的方程为”■例2.设厂为抛物线Gy=4x的
3、焦点，过点户（一1,0）的直线/交抛物线C于/1,〃两点，点0为线段/!〃的中点.若丨呦=2,则直线/的斜率等于.•1//例3・过点Ml,1)作斜率为一的直线。与椭圆G飞+7=1(日”>0)相交于0〃两点，若M是线段肋的中2ab点，则椭圆C的离心率等于•点评：弦的中点问题是考查直线与圆锥曲线位置•关系的命题热点.归纳起来常见的探究角度有：1.由中点弦确定直线方程.2.由中点弦确定曲线方程.3.由中点弦解决对称问题.类型二直线与圆锥曲线位置关系之焦点弦例1・已知倾斜角为60°的直线1通过抛物线x2=4y的焦点，且
4、与抛物线相交于A,B两点，则弦AB的长为.22例2•，设椭圆C：J+p=l(a>b>0)的一个顶点与抛物线C：x2=4V3y的焦点重合，F.,F?分别是椭圆的左、右焦点，且离心率e=f过椭圆右焦点F2的直线1与椭圆C交于M,N两点.⑴求椭圆C的方程；(2)若0M・0N=-2,求直线1的方程；⑶若AB是椭圆C经过原点0的弦，MN〃AB,求证：为定值.22例3.己知椭圆J+p=1(a>b>0)的左焦点Fi(-l,0),长轴长与短轴长的比是2:^3.(1)求椭圆的方程；(2)过Fi作两直线m,n交椭圆于A,B,C,D
5、四点，若m丄n,求证：计厂+计厂为定值.点评：直线和椭圆相「交时，弦的中点坐标或弦中点轨迹方程可由韦达定理来解决.设而不求(设点而不求点)的方法是解析几何中最重要的解题方法之一.类型三中点弦问题例1.己知双曲线Z-y=1与不过原点0且不平行于坐标轴的直•线/相交于M,N两点，线段MN的中点为P,设直线/的斜率为心，直线OP的斜率为心，则哄=()11A.-2B…——C.2.D.-22例2.过点M(2,—2p)作抛物线x2=2py(p>0)的两条切线，切点分别为A,B,若线段AB的中点的纵坐标为6,则p的值是.2例
6、3.已知双曲线/-y=L上存在两点厕川关于直线y=x+m对称，且.卿的屮点在抛物线/=18^±,则实数加的值为点评：(1)利用弦长公式求弦长要注意斜率k不存在的情形，若k不存在时，可直接求交点坐标再求弦长.(2)遇到中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解.在椭圆5+^=1中，以£3,必)i222为中点的弦所在直线的斜率k=-^在双曲线与一召=1中，以PS如为中点的弦所在直线的斜率kqyhab=李；在抛物线y=2px中，以P(尬如为中点的弦所在直线的斜率&=匕ajojo(3)对于中点弦问题，常用的解题方
7、法是平方差法.其解题步骤为①设点：即设出弦的两端点坐标.，②代入：即代入圆锥曲线方程.③作差：即两式相减，再用平方差公式把上式展开.•④整理：即转化为斜率与中点坐标的关系式，然后求解.类型四最值问题XV例1・如图，设椭圆G飞+£=1@>小0),动直线/与椭圆/只有一个公共点只II点"在第一象限…ab(1)已知直线1的斜率为k,•用d,b,k表示点P的坐标；(2)若过原点0的直线1】与1垂直，证明：点P到直线h的距离的最大值为a—例2.设椭圆E:*+)，=1(g〉1)的右焦点为F,右顶点为4,已知(I(I)求d的
8、值；(II)动直线/过点N(—2,0),/与椭「圆E交于P、Q两点，求AOPa面积的最大值.兀221例3.设椭圆—+^=1(6?>/7>0)的离心率为一，E上一点P到右焦点距离的最小值为1.a-b~2(1)求椭圆E的方程；(2)过点(0,2)的直线交椭圆E于不同的两点A,B,求的取值范围.点评：圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何方法,即通过
