备战2018年高考数学一轮复习（热点难点）专题57直线与圆锥曲线的位置关系之焦点弦、焦点

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1、专题57直线与圆锥曲线的位置关系之焦点弦、焦点三角形问题考纲要求：1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法.2•了解圆锥曲线的简单应用.3.理解数形结合的思想.基础知识回顾：1.直线与圆锥曲线的位置关系(1)从几何角度看，可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异的公共点.(2)从代数角度看，可通过将表示直线的方程代入二次曲线的方程消元后所得一元二次方程解的情况来判断.设直线/的方程为Ax+By+C=Of圆锥曲线方程为于匕，力=0.[Ax+By+C=Of.由]公c消元.(如消去y)得ax+bx+c=0.[fx,y=0,①

2、若a=0,当圆锥曲线是双曲线时，直线』与双曲线的渐近线平行；当圆锥曲线是抛物线时，直线1与抛物线的对称轴平行(或重合).②若$H0,设A=l)—4：ac.a.当4>0时，直线和圆锥曲线相交于不同两点；b.当4=0时，直线和圆锥曲线相切于一点；c.当4V0时，直线和圆锥曲线没有公共点.2.直线与圆锥曲线相交时的弦长问题(1)斜率为斤的直线与圆锥曲线交于两点Pg,/),Ag,比)，则所得弦长：丨朋

3、=~1+用―[—X+X2—=/1+#・

4、必_卫

5、=、1+寺[Ji+j22—4皿](2)斜率不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用坐标轴上两

6、点间距离公式).应用举例：类型一椭圆的焦点三角形=l(a〉b>0)的离心率【例1][2018届福建省福州市闽侯第六屮学高三上期屮】已知椭圆C：务+与atr&为e=—,且椭圆上一点M与椭圆左右两个焦点构成的三角形周长为4+2©.2（1）求椭圆C的方程；（2）如图，设点D为椭圆上任意一点，直线），=加和椭圆C交于A,3两点，且直线DA,DB与y轴分别交于两点，求证：ZPF也+ZQF£=90。.X2y2【答案】（1）—+^=1；⑵详见解析.42【解析】试题分析：（1）由"返加+氐=4+2血，又/=沪+宀联立求出。、b'的值,2a即可得出椭圆C

7、的方程；⑵设巩％儿）刀（西$）,则找-求出直线Di的方程与直线DB方程，可得只Q的坐标，利用斜率公式只要证明褊耳•愆耳=1即可得出结果.试题解析::.a=^Jlca2阿耳

8、+[A/砌+

9、耳码

10、=加+力=2岳+比=4+诟c=y/23a=2・・椭圆方程为—+=142（2）设0（和如,D（西J〉则虫（-％如,直线方程为卩―必=西二基（x-西）兀一西令“°,则尸包聾兀一西•jo型匸血＜兀-羽丿同理』0啊+附、.兀+画丿••上P斗血和/纠巧均为锐角,.*.tanZPFlF2=怎+兀］兀0必+凡旺C（X°+壬）tanZQFlF2=C（观一坷）299

11、9吋）7-）『石.*.tanZP/^F,tanZQFlF2「「c（x°+xj。（兀0—兀］）・・・ZPF"与互余,・・・巧=90°【例2】己知凡&是椭圆的两个焦点，户为椭圆上一点，Z幷朋=60°・(1)求椭圆离心率的范围；(2)求证△斤加的面积只与椭圆的短轴长有关.解析：设椭圆方程为弓+£=l(a>b>0),P点坐标为(gya).(1)I閉丨—&+exofPF】

12、=a—exQ.1閉+一1恥丨2PR■P珂cos乙FiPF^=(廿吹)：+(厂窗)_4-遇60。电解得x匸弓2(a+exc)(a~exc)TjfiiE(—勺a),••.£€[o.

13、-a<3c,解得*We

14、IIAj^I=-••22畑得证.点评：1.焦点三角形：椭圆上的点P(xo,y0)与两焦点构成的APFE叫做焦点三角形.□=

15、PFJ,r2=

16、PF2

17、,Xy"丹2",8F也的面积为S,则在椭圆尹产l@>b>0)中:①当n=r2时，即点P的位置为短轴端点时，8最大；(2)S=b2tany=c

18、yo

19、,当

20、y°

21、=b时，即点P的位置为短轴端点时，S取最大值，最大值为be.1.椭圆的焦点三角形是描述椭圆的焦距、焦

22、半径之间的相互制约关系的一个载体.由于其位置、边的特殊性决定了它易于同椭圆的定义、长轴长、离心率等几何量发生联系，内容丰富多彩.类型二椭圆的焦点弦「V【例3】【江苏省南京市2017届高三上学情调研】如图，在平而直角坐标系椭圆G了+方=1（日>b>0）的左、右焦点分别为凡息"为椭圆上一点（在/轴上方），连结/竹并延长交椭圆于另一点0,设莎=才局.（1）若点P的坐标为（1,刃，且处的周长为8,求椭圆C的方程；（2）若朋垂直于/轴，且椭圆C的离心率［扌，乎］,求实数久的取值范围.xy7【答案】（1）-+y=l；（2）5］.【解析】试题分析：（

23、1）求椭圆标准方程，实质就是要求"0的值，为此要找两个关于a^c的方程，本题由已知,把P点坐标代入可得一个方程，由椭圆定义知AF码Q的周长是4°,又可得。值，从而得解；（2）本小题关键是建立起几与离心率0的