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《【备战2017】高考数学（精讲+精练+精析）必做01空间向量与立体几何试题（江苏版）（含解析）.》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、专题1空间向量与立体几何【三年高考】1.[2015江苏髙考，22】如图，在四棱锥P-ABCD中，己知PA丄平而ABCD,且四边形ABCD为直jr角梯形，ZABC=ZBAD=-,PA=AD=2,AB=BC=}2(1)求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值；(2)点0是线段胪上的动点，当肓线卬与”所成角最小时，求线段％的长【解析】W{AB,AD,AP}为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系-xyz,则各点的坐标为B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),P(O,O,2).(1)因为AD丄平面PAB,所以疋是平面PAB的一个法向量
2、，AD=(0,2,0).因为PC=(l,l,-2),PD=(0,2,-2).设平面PCD的法向虽为历=(兀y,z),则历•用=0’历•而=0,即＜2y-2z^~0。•令)u1,解得z=l,x=l.所以m=(l丄1)是平面PCD的一个法向量.从而cos所以平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值为』3•3(1)因为BP=(-l:0:2),设BQ=zBP=(-z:0:2z)(0CQ•DP1+2xCQ=CB+BQ=(-入72可，又DP=(0:-2:2),从而®(CQ,DP戶岡国二茹=•设1+
3、22*re[13],则°°s(CQsDP)=5r-10r+9=2,9n_5Y20：一§■+—<——o一10•当且仅当tp即久=29时,
4、cos(CQ:DP)
5、的最犬值为辔.因为v=cosx在,此时直线CQ与DP所成角取得最小值.又因为BP=Jl：+2,=・所以BQ千BP=¥・2.【2013江苏，理22】如图，在直三棱柱A^C-ABC中，AB_LAC,AB=AC=2,血4=4,点〃是比'的中i求异面直线昇“与G〃所成角的余弦值；求平面ADC少平面例所成二面角的正弦值.3価V
6、【答案】(1)10.(2)3【解析】解：(1)以A为坐标原点，建立如
7、图所示的空间直角坐标系A-xyz,!•八、、•则水0,0,0),〃(2,0,0),所以=(2,0,—4),C{D=(1,—1,—4).因为cos18_3Vio720x718"io所以异面直线就与3所成角的余弦值为響.(2)设平面MG的法向量为771=(从JSZ),因为AD=(1,1,0)>AC]—(0,2,4),所以Z7in•AC}=0,即x+y=0且y+2z=0,取z=l,得x=2,y=—2,所以，z?i=(2,—2,1)是平®ADC.的一个法向量.取平面加”的一个法向量为忌=(0,1,0),设平而肋C；与平而力网所成二而角的大小为0.由
8、Icos糾=耳©二_=2,得sin0=.IHiIIn21V9xVl33因此，平面赵与平面赵所成二面角的正弦值为孚3.[2016高考新课标2理数】如图，菱形ABCD的对角线4C与別)交于点O,AB=5yAC=6，点、E,F分别在上，AE=CF=~,EF交BD于点H•将QEF沿EF折到AD’EF位置,OD'=Jf5.4(I)证明：D'H丄平面ABCD；(II)求二面角B—D'A—C的正弦值.Df【答案】“)详见解析；5)導.【解析】试题分析：(I)证ACHEF,再证丄OR,最后证》丹_平面一毎仞；(II)用向量法求解.试题解析：(D由已知得貳C丄
9、BD，AD=CD，又由AE=CF得兰=鉴，故AC//EF・ADCD因此*■丄HD,从而护丄D7/•由卫5=5,且C=&得DO=肌=J3-/O2=4.由EFHAC得丝=兰丄所以O2f=l,DH=DH=DOAD4于是OH=[,D'H+OR=32+F=10=D6故D'H_OH・又D'H丄EF,而OHcEF=H,所以D7/丄平面ABCD.DfA■Ey•D6HBu•f、C*(II)如图，以H为坐标原点，丽的方向为兀轴的正方向，建立空间直角坐标系H—xyz,则H(0,0,0),A(—3,—2,0),3(0,—5,0),C(3,—l,0),D(0,0,3
10、),AB=(3,-4,0),AC=(6,0,0),即[3西-4心[3Xj+y+3zl=0所以可以取云=（4,3,-5）.设比=（兀2,儿，％）是平面ACD的法向量，则n-AC—02•而=0AD'=(3,1,3).设嬴=(x,,)[,zj是平面ABDf的法向量，贝U丫仔°m-ADf=O[3x2+y2+3z2=0所以"J以取〃=(0,-3J)•于是cos=・一-2a/95sm=25m-n_-14_7a/5
11、m
12、-
13、/?rV50xV10~25因此二面角B—D'A—C的正弦值是兰歴.25考点：线而垂直的判定、二而角.【名师点睛】
14、证明直线和平血垂直的常用方法有：①判定定理；②臼〃方，臼丄方丄s③臼丄。。白丄〃；④面面垂直的性质.线面垂直的性质，常用來证明线线垂直.求二面角最常用的方法就是分别
