2019届高考数学大一轮复习第十三章推理与证明、算法、复数第3讲数学归纳法及其应用练

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1、第3讲数学归纳法及其应用一、选择题1•用数学归纳法证明“2”>2刀+1对于5、的正整数刀都成立”时，第一步证明中的起始值巾应取()A.2B.3C.5D.6解析・・•刀=1时，2'=2,2X1+1=3,2">2刀+1不成立；n=2时，22=4,2X2+1=5,2">2n+1不成立；/7=3时，2'=8,2X3+1=7,2n>2n+1成立.・・・刃的第一个収值巾=3.答案B2.某个命题与正整数有关，如果当n=k{k^)时该命题成立，那么可以推出n=k+1时该命题也成立.现已知刀=5时该命题成立，那么()A.n=时该命题成立B.刀=4时该命题不成立C./?eN*时该

2、命题都成立D.可能刀取某个大于5的整数时该命题不成立解析显然A,B错误，由数学归纳法原理知C正确，D错.答案C3.利用数学归纳法证明不等式“1+*+扌+・・・+刁丄^>号(刀22,胆NJ”的过程中，由5=k”变到“刀=&+1”时，左边增加了()A.1项项C.2A_l项D.2*项解析左边增加的项为寺+#;+・・•+討二y共2*项，故选D.答案D4.对于不等式匚75+1(/7WN+),某同学用数学归纳法证明的过程如下：(1)当刀=1时，pl?+l

3、+3k+2

4、,型=3X2+1727&尸—2.133X-+12&?=2=Y^«由此，猜想日“是以3X^+1139分子为2,分母是以首项为1,公差为6的等差数列•・・・日”=乔二亍答案26/?—5&凸〃多边形有f（〃）条对角线•则凸5+1）边形的对角线的条数代〃+1）与f（〃）的递推关系式为解析fS+1)=f{ri)+(/?—2)+1=/(/?)+/?—1.答案/*(/?+1)=f)+n—1三、解答题9.用数学归纳法证明：1+当+寺A<2—-(/7GN+,刀事2).2^3an证明⑴当77=2时，1+*=

5、〈2—扌=

6、,命题成立.(2)假设n=k时命题成立，即1+*+*-^<

7、2—^.当n=k+l时,1(&+1)1+*+*+•••7<24+(A+1)2<24+/<(A+1)+》缶=2—击'命题成立・由(1)(2)知原不等式在/?WN+,於2时均成立.10.数列｛/｝满足$=2刀一日"(刀WNJ.(1)计算日I,念,&i,并由此猜想通项公式日”;(2)证明⑴中的猜想.(1)解当n—1时,£i=S】=2—a,・••臼i=l；3当门=2时，臼i+^=$=2X2—创，：.血=~2*7当/?=3时，＜5i+a2+^3=$=2X3—角，33=7；当刀=4时，臼1+也+臼3+&1=$=2乂4—&i,・15••a?=8•2"—1由此猜想&“=2〃-

8、1(刃WN+).(2)证明①当77=1时，21=1,结论成立.②假设门=1且圧N+)时,结论成立，2”一1即dk=2*-1，那么/?=&+1时，亦=Sk*_Sk=2(&+1)—dk+—2k+6?a=2+dk~cik+i>2a-12+a-2+2A_l2"+1-l・・^+l=_T~=~2~=~1F~所以当n=k+1时，结论成立.2—1由①②知猜想^=-^r(/?eN+)成立.11139.(2017•昆明诊断)设刀为正整数，fS)=l+尹尹…+/经计算得f(2)=[，f(4)57>2,A8)>-,A16)>3,A32)>-,观察上述结果，可推测出一般结论()(、

9、2/7+1,2x-刀+2A.A2/7)>二一B.M3丁A.f(2”)N学D.以上都不对解析因为A22)>

10、,A23)>

11、,A24)>

12、,A25)>

13、,所以当心1时，有f(2”)2罟.答案C10.设代方是定义在正整数集上的函数，且fd)满足：“当成立时，总可推出AA+1)^(A+1)2成立”.那么，下列命题总成立的是()A.若A1X1成立，则A10X10o成立B•若A2)<4成立，则f⑴21成立C.若A3)^9成立，则当时，均有f船三比成立B.若£(4)216成立，则当£24时，均有埶成立解析选项A,B的答案与题设屮不等号方向不同，故A,B错；选项C屮，应该是斤$

14、3吋，均有f®却成立；对