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《2018版高考数学大一轮复习第十三章推理与证明、算法、复数13.3数学归纳法试题理.》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、第十三章推理与证明、算法、复数13.3数学归纳法试题理北师大版基础知识主学习If知识梳理数学归纳法数学归纳法是用來证明某些与正整数〃有关的数学命题的一种方法.它的基本步骤是：(1)验证：当〃収第一个值处(如灿=1或2等)时，命题成立；(2)在假设当n=k(kWN-,吋命题成立的前提下，推出当n=k+1吋，命题成立.根据(1)(2)可以断定命题对一切从处开始的正整数/7都成立.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“J”或“X”)(1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当刃=1时结论成立.(X)(2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明.(X)(3)用数
2、学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用.(X)(4)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明吋，由n=k到/;=&+1吋，项数都增加了一项・(X)⑸用数学归纳法证明等式“1+2+2?+…+2”+2=2十一1”,验证刀=1时,左边式子应为1+2+22+23.(V)(6)用数学归纳法证明凸刀边形的内角和公式时，/2o=3.(V)i.用数学归纳法证明i+臼+/+..・+屛】(臼H1,〃丘N+),在验证77=1时，等式左边的项是()A.1B.1+臼C.1+$+/D.1+$+才+/答案C解析当刀=1时，门+1=2,・°•左边=1+a+/=1+日+ci.2.(2016•黄山模拟)己知〃为正
3、偶数，用数学归纳法证明1一土+扌一++・・・一*=2(7±+占+•・•+*；）时，若已假设n=k（k22且k为偶数）时命题为真，则还需要用归纳假设再证（）A.n=k+1时等式成立B.n=k+2时等式成立C.n=2k+2时等式成立D.〃=2（斤+2）时等式成立答案B解析因为/7为正偶数，n=k吋等式成立，即刀为第斤个偶数时命题成立，所以需假设刀为下一个偶数，即n=k+2时等式成立.2.在应用数学归纳法证明凸刀边形的对角线为*刀（刀一3）条时，第一步检验刀等于（）A.1B.2C.3D.0答案C解析凸〃边形边数最小时是三角形，故第一步检验门=3.•1I23.用数学归纳法证明1+2
4、+3+…+/=竺尹，则当H时左端应在n=k的基础上加±（）A.护+1B.U+1）2~k+i4+k+l2D.（护+1）+（#+2）+（护+3）+・・・+（&+1尸答案D解析等式左边是从1开始的连续自然数的和，直到於故n=k+1时,最后一项是（A+1）2,而n=k时,最后一■项是应加上（F+l）+（F+2）+（护+3）+・・・+伙+1）14.（教材改编）已知｛%｝满足如1=$：—加”+1,力UN+,且ai=2,则&2=,创=,昂=,猜想禺=.答案345刀+1题型分类深度剖析题型一用数学归纳法证明等式例1设f(/?)=l+¥+g丄(刀GN+)・求证：f(l)+f(2)/(/?—1
5、)=n[f)—23n1](/?^2,用N卜).证明①当n=2时，左边=/'(1)=1,右边=2(l+g—1)=1,左边=右边，等式成立.②假设门=典&2,圧N+)时，结论成立，即f(l)+f(2)+・・・+fO-l)=ALf(Q-l],那么，当n=k+t,f(l)+f(2)+…+AA-1)+AA)=MAA)-1]+/(A)=(£+1)f(Jd-k—(&+1)[f(W+l)—a+J—k=a+i)fu+i)一(&+1)=(&+i)[/u+i)一i],当n=k+1时结论成立.由①②可知当〃WN+时，Al)+A2)+-+A/7-l)=n[f(n)—1](/7>2,Z7EN+
6、).思维升华用数学归纳法证明恒等式应注意(1)明确初始值巾的取值并验证/?=巾时等式成立.(2)由n=k证明n=k+1时，弄清左边增加的项，且明确变形目标.(3)掌握恒等变形常用的方法：①因式分解；②添拆项；③配方法.跟踪训练1用数学归纳法证明:I1证明①当〃=1时，左边=厂门=丁/、寸A+1£+1+1石2[2k+1+1]k+1k+2=~22斤+3，左边=右边，等式成立.即对所有〃GN+,原式都成立.题型二用数学归纳法证明不等式例2(2016•烟台模拟)等比数列｛/｝的前刀项和为$，,已知对任意的刀EN+,点(刀，S)均在函数y=bx+r｛b>0且方Hl,b,z•均为常数)
7、的图像上.(1)求/的值;⑵当b=2时，记b”=2仃og2/+1)(/?WN+),证明：对任意的z?WN+,不等式bi+lb>+bn+1i~~亠——・匕[)—〉、/〃+1成立.⑴解由题意，$=方"+厂，当心2时，5,-1=Z/i+r.所以Hn=Sn~Sn-=L)'~｛(Z?—1).由于方>0且方H1,所以心2时，｛/｝是以方为公比的等比数列.又a=b+r,a2=b(b—),所以-=b,即h/71=b，解得旷=一1・a力十厂⑵证明由⑴及b=2知弘=2”t.因此Z?”=2z7(z?WN+),所证不等式为号丄・
