2019版高考数学（理）大一轮复习讲义 第十三章推理与证明、算法、复数 第十三章 13.3(02).pptx

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1、§13.3数学归纳法基础知识自主学习课时作业题型分类深度剖析内容索引基础知识　自主学习数学归纳法知识梳理一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取(n0∈N*)时命题成立；(2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当时命题也成立.只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.第一个值n0n＝k＋1判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n＝1时结论成立.()(2)所有与正整数有关的数学命题

2、都必须用数学归纳法证明.()(3)用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用.()思考辨析×××(4)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由n＝k到n＝k＋1时，项数都增加了一项.()(5)用数学归纳法证明等式“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1”，验证n＝1时，左边式子应为1＋2＋22＋23.()(6)用数学归纳法证明凸n边形的内角和公式时，n0＝3.()×√√考点自测A.1B.1＋aC.1＋a＋a2D.1＋a＋a2＋a3答案解析当n＝1时，n＋1＝2，∴左边＝1＋a1＋a2＝1＋a＋a2.答案解析A.n＝k＋1时等

3、式成立B.n＝k＋2时等式成立C.n＝2k＋2时等式成立D.n＝2(k＋2)时等式成立因为n为正偶数，n＝k时等式成立，即n为第k个偶数时命题成立，所以需假设n为下一个偶数，即n＝k＋2时等式成立.3.在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n－3)条时，第一步检验n等于凸n边形边数最小时是三角形，A.1B.2C.3D.0答案解析故第一步检验n＝3.答案解析等式左边是从1开始的连续自然数的和，直到n2.故n＝k＋1时，最后一项是(k＋1)2，而n＝k时，最后一项是k2，应加上(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋

4、1)2.答案345n＋1题型分类　深度剖析题型一　用数学归纳法证明等式例1设f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*).求证：f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n[f(n)－1](n≥2，n∈N*).证明①当n＝2时，左边＝f(1)＝1，左边＝右边，等式成立.②假设n＝k(k≥2，k∈N*)时，结论成立，即f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＝k[f(k)－1]，那么，当n＝k＋1时，f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＋f(k)＝k[f(k)－1]＋f(k)＝(k＋1)f(k)－k＝(k＋1)f(k＋1)－(k＋1)＝(k＋1)[

5、f(k＋1)－1]，∴当n＝k＋1时结论成立.由①②可知当n∈N*时，f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n[f(n)－1](n≥2，n∈N*).用数学归纳法证明恒等式应注意(1)明确初始值n0的取值并验证n＝n0时等式成立.(2)由n＝k证明n＝k＋1时，弄清左边增加的项，且明确变形目标.(3)掌握恒等变形常用的方法：①因式分解；②添拆项；③配方法.思维升华跟踪训练1用数学归纳法证明：证明左边＝右边，等式成立.②假设n＝k(k≥1，k∈N*)时，等式成立.当n＝k＋1时，左边＝右边，等式成立.即对所有n∈N*，原式都成立.例

6、2(2016·烟台模拟)等比数列{an}的前n项和为Sn，已知对任意的n∈N*，点(n，Sn)均在函数y＝bx＋r(b>0且b≠1，b，r均为常数)的图象上.(1)求r的值；题型二　用数学归纳法证明不等式解答由题意，Sn＝bn＋r，当n≥2时，Sn－1＝bn－1＋r.所以an＝Sn－Sn－1＝bn－1(b－1).由于b>0且b≠1，所以n≥2时，{an}是以b为公比的等比数列.又a1＝b＋r，a2＝b(b－1)，证明由(1)及b＝2知an＝2n－1.因此bn＝2n(n∈N*)，左式>右式，所以结论成立.②假设n＝k(k≥1，k∈

7、N*)时结论成立，则当n＝k＋1时，要证当n＝k＋1时结论成立，所以当n＝k＋1时，结论成立.数学归纳法证明不等式的适用范围及关键(1)适用范围：当遇到与正整数n有关的不等式证明时，若用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法.(2)关键：由n＝k时命题成立证n＝k＋1时命题也成立，在归纳假设使用后可运用比较法、综合法、分析法、放缩法等来加以证明，充分应用基本不等式、不等式的性质等放缩技巧，使问题得以简化.思维升华跟踪训练2若函数f(x)＝x2－2x－3，定义数列{xn}如下：x1＝2，xn＋1是过点P(4,5)、Qn(xn，f

8、(xn))的直线PQn与x轴的交点的横坐标，试运用数学归纳法证明：2≤xn