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时间:2019-09-15
《2016届《步步高》高考数学大一轮总复习 第十三章 推理与证明、算法、复数 第十三章 13.3》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、§13.3 数学归纳法数学归纳法证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行:(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立;(2)(归纳递推)假设n=k(k≥n0,k∈N*)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立.只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)用数学归纳法证明问题时,第一步是验证当n=1时结论成立.( × )(2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明.( × )(3)用数学归纳法
2、证明问题时,归纳假设可以不用.( × )(4)不论是等式还是不等式,用数学归纳法证明时,由n=k到n=k+1时,项数都增加了一项.( × )(5)用数学归纳法证明等式“1+2+22+…+2n+2=2n+3-1”,验证n=1时,左边式子应为1+2+22+23.( √ )(6)用数学归纳法证明凸n边形的内角和公式时,n0=3.( √ )1.若f(n)=1+++…+(n∈N*),则f(1)为( )A.1B.C.1++++D.非以上答案答案 C解析 等式右边的分母是从1开始的连续的自然数,且最大分母为6n-1,则当n=1时,
3、最大分母为5,故选C.2.在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n-3)条时,第一步检验n等于( )A.1B.2C.3D.0答案 C解析 凸n边形边数最小时是三角形,故第一步检验n=3.3.设Sn=1++++…+,则Sn+1-Sn=____________________.答案 +++…+解析 ∵Sn+1=1++…+++…+,Sn=1++++…+,∴Sn+1-Sn=+++…+.4.设f(n)=++…+,n∈N*,那么f(n+1)-f(n)=________.答案 -解析 f(n+1)-f(n)=++…+++-(+
4、+…+)=+-=-.题型一 用数学归纳法证明等式例1 求证:(n+1)(n+2)·…·(n+n)=2n·1·3·5·…·(2n-1)(n∈N*).思维点拨 n从k变到k+1,左边增乘了2(2k+1).证明 ①当n=1时,等式左边=2,右边=2,故等式成立;②假设当n=k(k∈N*)时等式成立,即(k+1)(k+2)·…·(k+k)=2k·1·3·5·…·(2k-1),那么当n=k+1时,左边=(k+1+1)(k+1+2)·…·(k+1+k+1)=(k+2)(k+3)·…·(k+k)(2k+1)(2k+2)=2k·1·3
5、·5·…·(2k-1)(2k+1)·2=2k+1·1·3·5·…·(2k-1)(2k+1),这就是说当n=k+1时等式也成立.由①②可知,对所有n∈N*等式成立.思维升华 用数学归纳法证明恒等式应注意(1)明确初始值n0的取值并验证n=n0时等式成立.(2)由n=k证明n=k+1时,弄清左边增加的项,且明确变形目标.(3)掌握恒等变形常用的方法:①因式分解;②添拆项;③配方法. 用数学归纳法证明:++…+=(n∈N*).证明 ①当n=1时,左边==,右边==,左边=右边,等式成立.②假设n=k(k≥1)时,等式成立.即
6、++…+=,当n=k+1时,左边=++…++=+===,右边==,左边=右边,等式成立.即对所有n∈N*,原式都成立.题型二 用数学归纳法证明不等式例2 已知函数f(x)=ax-x2的最大值不大于,又当x∈[,]时,f(x)≥.(1)求a的值;(2)设07、,所以即解得a≥1.又因为a2≤1,所以a=1.(2)证明 用数学归纳法证明:①当n=1时,08、n<成立.思维升华 (1)当遇到与正整数n有关的不等式证明时,应用其他办法不容易证,则可考虑应用数学归纳法.(2)用数学归纳法证明不等式的关键是由n=k成立,推证n=k+1时也成立,在归纳假设后,可采用分析法、综合法、求差(求商)比较法、放缩法等证明. (2014·陕西)设函数f(x)=ln(1+x),g(x)=xf′(x),x≥
7、,所以即解得a≥1.又因为a2≤1,所以a=1.(2)证明 用数学归纳法证明:①当n=1时,08、n<成立.思维升华 (1)当遇到与正整数n有关的不等式证明时,应用其他办法不容易证,则可考虑应用数学归纳法.(2)用数学归纳法证明不等式的关键是由n=k成立,推证n=k+1时也成立,在归纳假设后,可采用分析法、综合法、求差(求商)比较法、放缩法等证明. (2014·陕西)设函数f(x)=ln(1+x),g(x)=xf′(x),x≥
8、n<成立.思维升华 (1)当遇到与正整数n有关的不等式证明时,应用其他办法不容易证,则可考虑应用数学归纳法.(2)用数学归纳法证明不等式的关键是由n=k成立,推证n=k+1时也成立,在归纳假设后,可采用分析法、综合法、求差(求商)比较法、放缩法等证明. (2014·陕西)设函数f(x)=ln(1+x),g(x)=xf′(x),x≥
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