2016届《步步高》高考数学大一轮总复习 第十三章　推理与证明、算法、复数 第十三章 13.5

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1、§13.5　复　数1．复数的有关概念(1)定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a叫做实部，b叫做虚部．(i为虚数单位)(2)分类：满足条件(a，b为实数)复数的分类a＋bi为实数⇔b＝0a＋bi为虚数⇔b≠0a＋bi为纯虚数⇔a＝0且b≠0(3)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c，b＝d(a，b，c，d∈R)．(4)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．(5)模：向量的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作

2、a＋bi

3、或

4、z

5、，即

6、z

7、＝

8、a＋bi

9、＝(a，b∈R)．2

10、．复数的几何意义复数z＝a＋bi与复平面内的点Z(a，b)及平面向量＝(a，b)(a，b∈R)是一一对应关系．3．复数的运算(1)运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即＝＋，＝－.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)方程x2＋x＋1＝0没有解．(　×　)(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi.(　×　)(3)复数中

11、有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．(　×　)(4)原点是实轴与虚轴的交点．(　√　)(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．(　√　)1．(2014·课标全国Ⅰ)等于(　　)A．1＋iB．1－iC．－1＋iD．－1－i答案　D解析　方法一　＝＝＝＝＝－1－i.故选D.方法二　＝2(1＋i)＝i2(1＋i)＝－1－i.2．在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是(　　)A．4＋8iB．8＋2iC．2＋4iD．4

12、＋i答案　C解析　∵A(6,5)，B(－2,3)，∴线段AB的中点C(2,4)，则点C对应的复数为z＝2＋4i.3．(2013·四川)如图，在复平面内，点A表示复数z，由图中表示z的共轭复数的点是(　　)A．AB．BC．CD．D答案　B解析　表示复数z的点A与表示z的共轭复数的点关于x轴对称，∴B点表示.选B.4．(2013·广东)若i(x＋yi)＝3＋4i，x，y∈R，则复数x＋yi的模是(　　)A．2B．3C．4D．5答案　D解析　由题意知x＋yi＝＝4－3i，所以

13、x＋yi

14、＝

15、4－3i

16、＝＝5.题型一　复数

17、的概念例1　(1)已知a∈R，复数z1＝2＋ai，z2＝1－2i，若为纯虚数，则复数的虚部为(　　)A．1B．iC.D．0(2)若z1＝(m2＋m＋1)＋(m2＋m－4)i(m∈R)，z2＝3－2i，则“m＝1”是“z1＝z2”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件思维点拨　(1)若z＝a＋bi(a，b∈R)，则b＝0时，z∈R；b≠0时，z是虚数；a＝0且b≠0时，z是纯虚数．(2)直接根据复数相等的条件求解．答案　(1)A　(2)A解析　(1)由＝＝＝＋i是纯虚数，得

18、a＝1，此时＝i，其虚部为1.(2)由解得m＝－2或m＝1，所以“m＝1”是“z1＝z2”的充分不必要条件．思维升华　处理有关复数的基本概念问题，关键是找准复数的实部和虚部，从定义出发，把复数问题转化成实数问题来处理．　(1)(2013·安徽)设i是虚数单位．若复数a－(a∈R)是纯虚数，则a的值为(　　)A．－3B．－1C．1D．3(2)(2014·浙江)已知i是虚数单位，a，b∈R，则“a＝b＝1”是“(a＋bi)2＝2i”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答

19、案　(1)D　(2)A解析　(1)a－＝a－(3＋i)＝(a－3)－i，由a∈R，且a－为纯虚数知a＝3.(2)当a＝b＝1时，(a＋bi)2＝(1＋i)2＝2i；当(a＋bi)2＝2i时，得解得a＝b＝1或a＝b＝－1，所以“a＝b＝1”是“(a＋bi)2＝2i”的充分不必要条件．题型二　复数的运算例2　计算：(1)＝________；(2)()6＋＝________.思维点拨　复数的除法运算，实质上是分母实数化的运算．答案　(1)3－3i　(2)－1＋i解析　(1)＝＝＝－＝－3i(i＋1)＝3－3i.(2)原

20、式＝[]6＋＝i6＋＝－1＋i.思维升华　(1)复数四则运算的解答策略复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式的运算，除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式．(2)几个常用结论在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计算速度．①(1±i)2＝±2i；＝i；＝－i.②i(a＋bi)＝－b＋ai.③i4n＝1，i4n＋1＝