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《2018版高考数学大一轮复习第十三章推理与证明、算法、复数13.3数学归纳法教师用书.》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、第十三章推理与证明、算法、复数13.3数学归纳法教师用书理新人教版基础知识自主学习ET知识梳理数学归纳法一般地，证明一个与正整数刀有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当刀取第一个值吐朋N’)时命题成立；⑵(归纳递推)假设n=k(k2z圧NJ时命题成立，证明当n=k+时命题也成立.只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从必开始的所有正整数〃都成立.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“丁”或“X”)(1)用数学归纳法证明问题吋，第一步是验证当刀=1时结论成立.(X)(2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明.(X)(3
2、)用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用.(X)(4)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由n=k到刀=&+1时，项数都增加了一项.(X)(5)用数学归纳法证明等式“1+2+2'+・・・+2卅J2我一1”,验证〃=1时,左边式子应为1+2+2z+23.(V)(6)用数学归纳法证明凸刀边形的内角和公式吋，处=3.(V)考点自测1—力E1.用数学归纳法证明1+臼+/+・・•+尹(臼Hl,/7EN#),在验证刀=1时，等式左1~a边的项是()A.1B.1+臼C.1+臼+菱D.1+$+/+』答案0解析当〃=1时，刀+1=2,左边=1+/+/=+a+a・
3、2.(2016•黄山模拟)己知〃为正偶数，用数学归纳法证明1—£+#—++•••—*=2(忌+占+•・•+*；）时，若已假设n=k（k22且k为偶数）时命题为真，则还需要用归纳假设再证（）A.n=k+1时等式成立B.n=k+2时等式成立C.n=2k+2时等式成立D.〃=2（斤+2）时等式成立答案B解析因为/7为正偶数，n=k吋等式成立，即刀为第斤个偶数时命题成立，所以需假设刀为下一个偶数，即n=k+2时等式成立.1.在应用数学归纳法证明凸刀边形的对角线为*刀（刀一3）条时，第一步检验刀等于（）A.1B.2C.3D.0答案C解析凸〃边形边数最小时是三角形，
4、故第一步检验门=3.•1I22.用数学归纳法证明1+2+3+…+/=竺尹，则当H时左端应在n=k的基础上加±（）A.护+1B.U+1）2~k+i4+k+l2D.（护+1）+（#+2）+（护+3）+・・・+（&+1）2答案D解析等式左边是从1开始的连续自然数的和，直到圧故n=k+1时,最后一项是（A+1）2,而n=k时,最后一项是应加上（F+l）+（F+2）+（护+3）+・・・+（k+l）2.3.（教材改编）已知｛/｝满足an+｝—an—nan+1,N*,且^=2,则出=,昂=,昂=,猜想禺=.答案345刀+1题型分类深度剖析题型一用数学归纳法证明等式例1
5、设f(刀)=1+*+*丄(z/EN").求证：f(l)+f(2)f{n—1)=n[f(n)—Lt«jn1](心2,〃GN*)・证明①当n=2时，左边=/'(1)=1,右边=2(1+
6、—1)=1,左边=右边，等式成立.②假设n=k(&2,圧N*)时，结论成立，即f(l)+f(2)+・・・+fO-l)=ALf(Q-l],那么，当n=k+t,f(l)+f(2)+…+AA-1)+AA)=MAA)-1]+/(A)=(£+1)f(Jd-k—(A+l)[/'(A+l)—a+J—k=(A+1)/U+1)一(A+1)=(&+1)[/U+1)一1],当n=k+1时结论成
7、立.由①②可知当/7EN*时,f(l)+f(2)+・・・+f(/7-l)=/?[/•(/?)—1](〃22,/7EN*).思维升华用数学归纳法证明恒等式应注意(1)明确初始值灿的取值并验证门=血吋等式成立.(2)由n=k证明n=k+1时，弄清左边增加的项，且明确变形目标.(3)掌握恒等变形常用的方法：①因式分解；②添拆项；③配方法.跟踪训练1用数学归纳法证明：F2?n_nn+1zt右边二IX2X1+12X1+1IX3+3X5+…+2/?+l—二—(用2)•左边=右边，等式成立.②假设圧2)时，等式成立.即—・•+fJ&+111X33X52k-2A+12
8、2W+1当n=k+时,A+12A+12A+3左边=—・・・+faz1X3^3X5^丁2A-12A+1kA+lA+l22k+1+2&+3k&+12&+3+2&+112k+l2A+3k+2A2+5A+212W+12+-k+k+22+14+1所证不等式为—2/7+12/722斤+3""Q①当〃=1时，左式=[,右式=£,左式〉右式，所以结论成立.②假设n=k（k2,MN*）时结论成立,pil2+l4+1即丁■丁2A+12kM+l,则当n=k+1时,2+14+1~2T2£+l2k+32k2k+l2k+l2W+32^k+y要证当n=k+1时结论成立,只需
9、证坪'2人43-即ill:2$£+1£+2由基本不等式得丝芦=宀扌'+22―k+
