（全国通用）2019届高考数学大一轮复习第十三章推理与证明、算法、复数13.3数学归纳法学案

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1、§13.3　数学归纳法最新考纲考情考向分析1.了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.以了解数学归纳法的原理为主，会用数学归纳法证明与数列有关或与不等式有关的等式或不等式．在高考中以解答题形式出现，属高档题.数学归纳法一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；(2)(归纳递推)假设当n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．题组一　思考辨析1．判断

2、下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n＝1时结论成立．(　×　)(2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明．(　×　)(3)用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用．(　×　)(4)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由n＝k到n＝k＋1时，项数都增加了一项．(　×　)(5)用数学归纳法证明等式“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1”，验证n＝1时，左边式子应为1＋2＋22＋23.(　√　)(6)用数学归纳法证明凸n边形的内角和公式时，n0＝3.(　√　)题组二　教材改

3、编2．[P99B组T1]在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n－3)条时，第一步检验n等于(　　)A．1B．2C．3D．4答案　C解析　凸n边形边数最小时是三角形，故第一步检验n＝3.3．[P96A组T2]已知{an}满足an＋1＝a－nan＋1，n∈N*，且a1＝2，则a2＝______，a3＝______，a4＝______，猜想an＝______.答案　3　4　5　n＋1题组三　易错自纠4．用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(a≠1，n∈N*)，在验证n＝1时，等式左边的项是(　　)A．1B．1＋aC．1＋a＋a2D．1＋

4、a＋a2＋a3答案　C解析　当n＝1时，n＋1＝2，∴左边＝1＋a1＋a2＝1＋a＋a2.5．对于不等式

5、＝2n－1＋22n－1(n∈N*)时，假设当n＝k时命题成立，则当n＝k＋1时，左端增加的项数是__________．答案　2k解析　运用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋2n＝2n－1＋22n－1(n∈N*)．当n＝k时，则有1＋2＋3＋…＋2k＝2k－1＋22k－1(k∈N*)，左边表示的为2k项的和．当n＝k＋1时，则左边＝1＋2＋3＋…＋2k＋(2k＋1)＋…＋2k＋1，表示的为2k＋1项的和，增加了2k＋1－2k＝2k项.题型一　用数学归纳法证明等式1．用数学归纳法证明：＋＋＋…＋＝(n∈N*)．证明　(1)当n＝1时，左边＝＝，右边＝＝

6、，左边＝右边，所以等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*且k≥1)时等式成立，即有＋＋＋…＋＝，则当n＝k＋1时，＋＋＋…＋＋＝＋＝＝＝＝.所以当n＝k＋1时，等式也成立，由(1)(2)可知，对于一切n∈N*等式恒成立．2．(2018·朝阳模拟)设f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)．求证：f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n[f(n)－1](n≥2，n∈N*)．证明　(1)当n＝2时，左边＝f(1)＝1，右边＝2)＝1，左边＝右边，等式成立．(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时，结论成立，即f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＝k[f(

7、k)－1]，那么，当n＝k＋1时，f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＋f(k)＝k[f(k)－1]＋f(k)＝(k＋1)f(k)－k＝(k＋1)－k＝(k＋1)f(k＋1)－(k＋1)＝(k＋1)[f(k＋1)－1]，∴当n＝k＋1时结论成立．由(1)(2)可知当n≥2，n∈N*时，f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n[f(n)－1]．思维升华用数学归纳法证明恒等式应注意(1)明确初始值n0的取值并验证当n＝n0时等式成立．(2)由n＝k证明n＝k＋1时，弄清左边增加的项，且明确变形目标．(3)掌握恒等变形常用的方法：①因式分解；②添拆项

8、；③配方法．题型二　用数学归纳法证明不等式典例设实数c>0，整数p>1，n∈N*.(1)证明：当x>－1且x≠0时，(1＋x)p>1＋px；(2)数列