高考数学大一轮复习第十三章推理与证明算法复数13_3数学归纳法课件理苏教版

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1、§13.3数学归纳法基础知识　自主学习课时作业题型分类　深度剖析内容索引基础知识　自主学习数学归纳法一般地，对于某些与正整数有关的数学命题，我们有数学归纳法公理：如果(1)当n取第一个值n0(例如n0＝1,2等)时结论正确；(2)假设当n＝k(k∈N*，且k≥n0)时结论正确，证明当n＝k＋1时结论也正确.那么，命题对于从n0开始的所有正整数n都成立.知识梳理思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n＝1时结论成立．()(2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明．()

2、(3)用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用．()(4)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由n＝k到n＝k＋1时，项数都增加了一项．()(5)用数学归纳法证明等式“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1”，验证n＝1时，左边式子应为1＋2＋22＋23.()(6)用数学归纳法证明凸n边形的内角和公式时，n0＝3.()××××√√考点自测1.用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(a≠1，n∈N*)，在验证n＝1时，等式左边的项是__________.答案解析1＋a＋a2当n＝1时，n＋1＝2，∴左边＝1＋a1＋a2＝1＋a＋

3、a2.①n＝k＋1时等式成立②n＝k＋2时等式成立③n＝2k＋2时等式成立④n＝2(k＋2)时等式成立答案解析②因为n为正偶数，n＝k时等式成立，即n为第k个偶数时命题成立，所以需假设n为下一个偶数，即n＝k＋2时等式成立.3.在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n－3)条时，第一步检验n＝____.答案解析凸n边形边数最小时是三角形，故第一步检验n＝3.3答案解析4.用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝，则当n＝k＋1时左端应在n＝k的基础上加上___________________________________.等式左边是从1

4、开始的连续自然数的和，直到n2.故n＝k＋1时，最后一项是(k＋1)2，而n＝k时，最后一项是k2，应加上(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2.(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)25.(教材改编)已知{an}满足an＋1＝－nan＋1，n∈N*，且a1＝2，则a2＝____，a3＝___，a4＝___，猜想an＝______.答案345n＋1题型分类　深度剖析题型一　用数学归纳法证明等式例1设f(n)＝求证：f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n[f(n)－1](n≥2，n∈N*).证明①当n＝

5、2时，左边＝f(1)＝1，左边＝右边，等式成立.②假设n＝k(k≥2，k∈N*)时，结论成立，即f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＝k[f(k)－1]，那么，当n＝k＋1时，f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＋f(k)＝k[f(k)－1]＋f(k)＝(k＋1)f(k)－k＝(k＋1)f(k＋1)－(k＋1)＝(k＋1)[f(k＋1)－1]，∴当n＝k＋1时结论成立.由①②可知，f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n[f(n)－1](n≥2，n∈N*).用数学归纳法证明恒等式应注意(1)明确初始值n0的取值并验证n＝n0时等式成立.(2

6、)由n＝k证明n＝k＋1时，弄清左边增加的项，且明确变形目标.(3)掌握恒等变形常用的方法：①因式分解；②添拆项；③配方法.思维升华跟踪训练1(2017·南京质检)用数学归纳法证明：证明左边＝右边，等式成立.②假设n＝k(k≥1，k∈N*)时，等式成立.当n＝k＋1时，左边＝右边，等式成立.即对所有n∈N*，原式都成立.题型二　用数学归纳法证明不等式例2(2016·泰州模拟)等比数列{an}的前n项和为Sn，已知对任意的n∈N*，点(n，Sn)均在函数y＝bx＋r(b>0且b≠1，b，r均为常数)的图象上.(1)求r的值；解答由题意，Sn＝

7、bn＋r，当n≥2时，Sn－1＝bn－1＋r.所以an＝Sn－Sn－1＝bn－1(b－1).由于b>0且b≠1，所以n≥2时，{an}是以b为公比的等比数列.又a1＝b＋r，a2＝b(b－1)，证明由(1)及b＝2知an＝2n－1.因此bn＝2n(n∈N*)，左式>右式，所以结论成立.②假设n＝k(k≥1，k∈N*)时结论成立，则当n＝k＋1时，要证当n＝k＋1时结论成立，所以当n＝k＋1时，结论成立.数学归纳法证明不等式的适用范围及关键(1)适用范围：当遇到与正整数n有关的不等式证明时，若用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法.(2)

8、关键：由n＝k时命题成立证n＝k＋1时命题也成立，在归纳假设使用后可运用比较法、综合法、分析法、放缩法等来加以证明，充分应用基本不等式、不等式的性质等放缩技巧，使问题得以简化.思