2019届高考数学复习第十三章推理与证明算法复数第3讲数学归纳法及其应用练习理北师大版

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1、第3讲　数学归纳法及其应用一、选择题1.用数学归纳法证明“2n＞2n＋1对于n≥n0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取(　　)A.2B.3C.5D.6解析　∵n＝1时，21＝2，2×1＋1＝3，2n＞2n＋1不成立；n＝2时，22＝4，2×2＋1＝5，2n＞2n＋1不成立；n＝3时，23＝8，2×3＋1＝7，2n＞2n＋1成立.∴n的第一个取值n0＝3.答案　B2.某个命题与正整数有关，如果当n＝k(k∈N*)时该命题成立，那么可以推出n＝k＋1时该命题也成立.现已知n＝5时该命题成立，那么(　　)A.n＝4时该命题成立B.n＝4时该命题不成

2、立C.n≥5，n∈N*时该命题都成立D.可能n取某个大于5的整数时该命题不成立解析　显然A，B错误，由数学归纳法原理知C正确，D错.答案　C3.利用数学归纳法证明不等式“1＋＋＋…＋>(n≥2，n∈N＋)”的过程中，由“n＝k”变到“n＝k＋1”时，左边增加了(　　)A.1项B.k项C.2k－1项D.2k项解析　左边增加的项为＋＋…＋共2k项，故选D.答案　D4.对于不等式

3、.∴当n＝k＋1时，不等式成立，则上述证法(　　)A.过程全部正确B.n＝1验得不正确C.归纳假设不正确D.从n＝k到n＝k＋1的推理不正确解析　在n＝k＋1时，没有应用n＝k时的假设，不是数学归纳法.答案　D5.用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝，则当n＝k＋1时左端应在n＝k的基础上加上(　　)A.k2＋1B.(k＋1)2C.D.(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2解析　当n＝k时，左端＝1＋2＋3＋…＋k2.当n＝k＋1时，左端＝1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2，故当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上加上

4、(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2.故选D.答案　D二、填空题6.设Sn＝1＋＋＋＋…＋，则Sn＋1－Sn＝________.解析　∵Sn＋1＝1＋＋…＋＋＋…＋，Sn＝1＋＋＋＋…＋.∴Sn＋1－Sn＝＋＋＋…＋.答案　＋＋＋…＋7.(2017·宝鸡月考)数列{an}中，已知a1＝2，an＋1＝(n∈N＋)，依次计算出a2，a3，a4，猜想an＝________.解析　a1＝2，a2＝＝，a3＝＝，a4＝＝.由此，猜想an是以分子为2，分母是以首项为1，公差为6的等差数列.∴an＝.答案　8.凸n多边形有f(n)条对角线.则凸(n＋1)边形的对角

5、线的条数f(n＋1)与f(n)的递推关系式为________.解析　f(n＋1)＝f(n)＋(n－2)＋1＝f(n)＋n－1.答案　f(n＋1)＝f(n)＋n－1三、解答题9.用数学归纳法证明：1＋＋＋…＋<2－(n∈N＋，n≥2).证明　(1)当n＝2时，1＋＝<2－＝，命题成立.(2)假设n＝k时命题成立，即1＋＋＋…＋<2－.当n＝k＋1时，1＋＋＋…＋＋<2－＋<2－＋＝2－＋－＝2－，命题成立.由(1)(2)知原不等式在n∈N＋，n≥2时均成立.10.数列{an}满足Sn＝2n－an(n∈N＋).(1)计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项公式

6、an；(2)证明(1)中的猜想.(1)解　当n＝1时，a1＝S1＝2－a1，∴a1＝1；当n＝2时，a1＋a2＝S2＝2×2－a2，∴a2＝；当n＝3时，a1＋a2＋a3＝S3＝2×3－a3，∴a3＝；当n＝4时，a1＋a2＋a3＋a4＝S4＝2×4－a4，∴a4＝.由此猜想an＝(n∈N＋).(2)证明　①当n＝1时，a1＝1，结论成立.②假设n＝k(k≥1且k∈N＋)时，结论成立，即ak＝，那么n＝k＋1时，ak＋1＝Sk＋1－Sk＝2(k＋1)－ak＋1－2k＋ak＝2＋ak－ak＋1，∴2ak＋1＝2＋ak.∴ak＋1＝＝＝.所以当n＝k＋1时，结论

7、成立.由①②知猜想an＝(n∈N＋)成立.11.(2017·昆明诊断)设n为正整数，f(n)＝1＋＋＋…＋，经计算得f(2)＝，f(4)＞2，f(8)＞，f(16)＞3，f(32)＞，观察上述结果，可推测出一般结论(　　)A.f(2n)＞B.f(n2)≥C.f(2n)≥D.以上都不对解析　因为f(22)＞，f(23)＞，f(24)＞，f(25)＞，所以当n≥1时，有f(2n)≥.答案　C12.设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)≥k2成立时，总可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”.那么，下列命题总成立的是(　　)A.若f(1)<

8、1成立，则f(10)<100成立B.若f(2)<4成