2019届高考数学复习第十三章推理与证明、算法、复数13.5复数学案理北师大版

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1、§13.5 复 数最新考纲考情考向分析1.理解复数的基本概念.2.理解复数相等的充要条件.3.了解复数的代数表示及其几何意义.4.能进行复数代数形式的四则运算.5.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.本节主要考查复数的基本概念(复数的实部、虚部、共轭复数、复数的模等),复数相等的充要条件,考查复数的代数形式的四则运算,重点考查复数的除法运算,与向量结合考查复数及其加法、减法的几何意义,突出考查运算能力与数形结合思想.一般以选择题、填空题形式出现,难度为低档.1.复数的有关概念(1)定义:形如a+bi(a,b∈R)的数叫作复数

2、,其中a叫作复数z的实部,b叫作复数z的虚部(i为虚数单位).(2)分类:满足条件(a,b为实数)复数的分类a+bi为实数⇔b=0a+bi为虚数⇔b≠0a+bi为纯虚数⇔a=0且b≠0(3)复数相等:a+bi=c+di⇔a=c且b=d(a,b,c,d∈R).(4)共轭复数:a+bi与c+di共轭⇔a=c,b=-d(a,b,c,d∈R).(5)模:向量的模叫作复数z=a+bi的模,记作

3、a+bi

4、或

5、z

6、,即

7、z

8、=

9、a+bi

10、=(a,b∈R).2.复数的几何意义复数z=a+bi与复平面内的点Z(a,b)及平面向量=(a,b)(a

11、,b∈R)是一一对应关系.3.复数的运算(1)运算法则:设z1=a+bi,z2=c+di,a,b,c,d∈R.(2)几何意义:复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行.如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加减法的几何意义,即=+,=-.题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)方程x2+x+1=0没有解.( × )(2)复数z=a+bi(a,b∈R)中,虚部为bi.( × )(3)复数中有相等复数的概念,因此复数可以比较大小.( × )(4)原点是实轴与虚轴的交点.( √ 

12、)(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离,也就是复数对应的向量的模.( √ )题组二 教材改编2.设复数z满足=i,则

13、z

14、等于(  )A.1B.C.D.2答案 A解析 1+z=i(1-z),z(1+i)=i-1,z===i,∴

15、z

16、=

17、i

18、=1.3.在复平面内,向量对应的复数是2+i,向量对应的复数是-1-3i,则向量对应的复数是(  )A.1-2iB.-1+2iC.3+4iD.-3-4i答案 D解析 =+=-1-3i+(-2-i)=-3-4i.4.若复数z=(x2-1)+(x-1)i为纯虚数,则实数x的值为

19、(  )A.-1B.0C.1D.-1或1答案 A解析 ∵z为纯虚数,∴∴x=-1.题组三 易错自纠5.设a,b∈R,i是虚数单位,则“ab=0”是“复数a+为纯虚数”的(  )A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分又不必要条件答案 C解析 ∵复数a+=a-bi为纯虚数,∴a=0且-b≠0,即a=0且b≠0,∴“ab=0”是“复数a+为纯虚数”的必要不充分条件.故选C.6.设i是虚数单位,若z=cosθ+isinθ,且其对应的点位于复平面内的第二象限,则θ位于(  )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第

20、四象限答案 B解析 ∵z=cosθ+isinθ对应的点的坐标为(cosθ,sinθ),且点(cosθ,sinθ)位于第二象限,∴∴θ为第二象限角,故选B.7.i2011+i2012+i2013+i2014+i2015+i2016+i2017=________.答案 1解析 原式=i3+i4+i1+i2+i3+i4+i=1.题型一 复数的概念1.(2017·全国Ⅰ)设有下列四个命题:p1:若复数z满足∈R,则z∈R;p2:若复数z满足z2∈R,则z∈R;p3:若复数z1,z2满足z1z2∈R,则z1=2;p4:若复数z∈R,则∈R

21、.其中的真命题为(  )A.p1,p3B.p1,p4C.p2,p3D.p2,p4答案 B解析 设z=a+bi(a,b∈R),z1=a1+b1i(a1,b1∈R),z2=a2+b2i(a2,b2∈R).对于p1,若∈R,即=∈R,则b=0,故z=a+bi=a∈R,所以p1为真命题;对于p2,若z2∈R,即(a+bi)2=a2+2abi-b2∈R,则ab=0.当a=0,b≠0时,z=a+bi=bi∉R,所以p2为假命题;对于p3,若z1z2∈R,即(a1+b1i)(a2+b2i)=(a1a2-b1b2)+(a1b2+a2b1)i∈R

22、,则a1b2+a2b1=0.而z1=2,即a1+b1i=a2-b2i⇔a1=a2,b1=-b2.因为a1b2+a2b1=0⇏a1=a2,b1=-b2,所以p3为假命题;对于p4,若z∈R,即a+bi∈R,则b=0,故=a-bi=a∈R,所以p4为真命题.故选B.

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