2019届高考数学复习第十三章推理与证明、算法、复数13.5复数学案理北师大版

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1、§13.5　复　数最新考纲考情考向分析1.理解复数的基本概念．2.理解复数相等的充要条件．3.了解复数的代数表示及其几何意义．4.能进行复数代数形式的四则运算．5.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.本节主要考查复数的基本概念(复数的实部、虚部、共轭复数、复数的模等)，复数相等的充要条件，考查复数的代数形式的四则运算，重点考查复数的除法运算，与向量结合考查复数及其加法、减法的几何意义，突出考查运算能力与数形结合思想．一般以选择题、填空题形式出现，难度为低档.1．复数的有关概念(1)定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫作复数

2、，其中a叫作复数z的实部，b叫作复数z的虚部(i为虚数单位)．(2)分类：满足条件(a，b为实数)复数的分类a＋bi为实数⇔b＝0a＋bi为虚数⇔b≠0a＋bi为纯虚数⇔a＝0且b≠0(3)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．(4)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．(5)模：向量的模叫作复数z＝a＋bi的模，记作

3、a＋bi

4、或

5、z

6、，即

7、z

8、＝

9、a＋bi

10、＝(a，b∈R)．2．复数的几何意义复数z＝a＋bi与复平面内的点Z(a，b)及平面向量＝(a，b)(a

11、，b∈R)是一一对应关系．3．复数的运算(1)运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R.(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即＝＋，＝－.题组一　思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)方程x2＋x＋1＝0没有解．(　×　)(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi.(　×　)(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．(　×　)(4)原点是实轴与虚轴的交点．(　√　

12、)(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．(　√　)题组二　教材改编2．设复数z满足＝i，则

13、z

14、等于(　　)A．1B.C.D．2答案　A解析　1＋z＝i(1－z)，z(1＋i)＝i－1，z＝＝＝i，∴

15、z

16、＝

17、i

18、＝1.3．在复平面内，向量对应的复数是2＋i，向量对应的复数是－1－3i，则向量对应的复数是(　　)A．1－2iB．－1＋2iC．3＋4iD．－3－4i答案　D解析　＝＋＝－1－3i＋(－2－i)＝－3－4i.4．若复数z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，则实数x的值为

19、(　　)A．－1B．0C．1D．－1或1答案　A解析　∵z为纯虚数，∴∴x＝－1.题组三　易错自纠5．设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a＋为纯虚数”的(　　)A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分又不必要条件答案　C解析　∵复数a＋＝a－bi为纯虚数，∴a＝0且－b≠0，即a＝0且b≠0，∴“ab＝0”是“复数a＋为纯虚数”的必要不充分条件．故选C.6．设i是虚数单位，若z＝cosθ＋isinθ，且其对应的点位于复平面内的第二象限，则θ位于(　　)A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第

20、四象限答案　B解析　∵z＝cosθ＋isinθ对应的点的坐标为(cosθ，sinθ)，且点(cosθ，sinθ)位于第二象限，∴∴θ为第二象限角，故选B.7．i2011＋i2012＋i2013＋i2014＋i2015＋i2016＋i2017＝________.答案　1解析　原式＝i3＋i4＋i1＋i2＋i3＋i4＋i＝1.题型一　复数的概念1．(2017·全国Ⅰ)设有下列四个命题：p1：若复数z满足∈R，则z∈R；p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；p3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1＝2；p4：若复数z∈R，则∈R

21、.其中的真命题为(　　)A．p1，p3B．p1，p4C．p2，p3D．p2，p4答案　B解析　设z＝a＋bi(a，b∈R)，z1＝a1＋b1i(a1，b1∈R)，z2＝a2＋b2i(a2，b2∈R)．对于p1，若∈R，即＝∈R，则b＝0，故z＝a＋bi＝a∈R，所以p1为真命题；对于p2，若z2∈R，即(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2∈R，则ab＝0.当a＝0，b≠0时，z＝a＋bi＝bi∉R，所以p2为假命题；对于p3，若z1z2∈R，即(a1＋b1i)(a2＋b2i)＝(a1a2－b1b2)＋(a1b2＋a2b1)i∈R

22、，则a1b2＋a2b1＝0.而z1＝2，即a1＋b1i＝a2－b2i⇔a1＝a2，b1＝－b2.因为a1b2＋a2b1＝0⇏a1＝a2，b1＝－b2，所以p3为假命题；对于p4，若z∈R，即a＋bi∈R，则b＝0，故＝a－bi＝a∈R，所以p4为真命题．故选B.