高考数学复习推理与证明、算法、复数第3节数学归纳法及其应用学案理新人教b版

《高考数学复习推理与证明、算法、复数第3节数学归纳法及其应用学案理新人教b版》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第3节　数学归纳法及其应用最新考纲　1.了解数学归纳法的原理；2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.知识梳理1.数学归纳法证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N+)时命题成立；(2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N+)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立.只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.2.数学归纳法的框图表示[常用结论与微点提醒]1.数学归纳法证题时初始值n0不一定是1.2.推证n＝k＋1时一定要用上n＝k时的假设，否则不是数学归纳法.3

2、.解“归纳——猜想——证明”题的关键是准确计算出前若干具体项，这是归纳、猜想的基础.诊断自测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证n＝1时结论成立.(　　)(2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明.(　　)(3)用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用.(　　)(4)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由n＝k到n＝k＋1时，项数都增加了一项.(　　)解析　对于(1)，有的证明问题第一步并不是验证n＝1时结论成立，如证明凸n边形的内角和为(n－2)·180°，第一步要验证n＝3时结论成立

3、，所以(1)不正确；对于(2)，有些命题也可以直接证明；对于(3)，数学归纳法必须用归纳假设；对于(4)，由n＝k到n＝k＋1，有可能增加不止一项.答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×2.(教材习题改编)在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n－3)条时，第一步检验n等于(　　)A.1B.2C.3D.4解析　三角形是边数最少的凸多边形，故第一步应检验n＝3.答案　C3.用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N+)”的过程中，第二步假设n＝k时等式成立，则当n＝k＋1时，应得到(　　)A.1＋2＋22＋…＋2k－2＋2

4、k－1＝2k＋1－1B.1＋2＋22＋…＋2k＋2k＋1＝2k－1＋2k＋1C.1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＋1＝2k＋1－1D.1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k＋1－1解析　观察可知等式的左边共n项，故n＝k＋1时，应得到1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k＋1－1.答案　D4.用数学归纳法证明12＋22＋…＋(n－1)2＋n2＋(n－1)2＋…＋22＋12＝时，由n＝k的假设到证明n＝k＋1时，等式左边应添加的式子是(　　)A.(k＋1)2＋2k2B.(k＋1)2＋k2C.(k＋1)2D.(k＋1)[2(k＋1)2＋1]解析　由n＝k

5、到n＝k＋1时，左边增加(k＋1)2＋k2.答案　B5.用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，当第二步假设n＝2k－1(k∈N+)命题为真时，进而需证n＝________时，命题亦真.解析　由于步长为2，所以2k－1后一个奇数应为2k＋1.答案　2k＋1考点一　利用数学归纳法证明等式【例1】用数学归纳法证明：＋＋＋…＋＝(n∈N+).证明　(1)当n＝1时，等式左边＝＝，等式右边＝＝，等式左边＝等式右边，所以等式成立.(2)假设n＝k(k∈N+且k≥1)时等式成立，即有＋＋＋…＋＝，则当n＝k＋1时，＋＋＋…＋＋＝＋＝＝＝＝.

6、所以当n＝k＋1时，等式也成立，由(1)(2)可知，对于一切n∈N+，等式都成立.规律方法　用数学归纳法证明等式应注意的两个问题(1)要弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，以及初始值n0的值.(2)由n＝k到n＝k＋1时，除考虑等式两边变化的项外还要充分利用n＝k时的式子，即充分利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明.【训练1】设f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N+).求证：f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n[f(n)－1](n≥2，n∈N+).证明　(1)当n＝2时，左边＝f(1)＝1，右边＝2＝1，左边＝右边，等式成立.(

7、2)假设n＝k(k≥2，k∈N+)时，结论成立，即f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＝k[f(k)－1]，那么，当n＝k＋1时，f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＋f(k)＝k[f(k)－1]＋f(k)＝(k＋1)f(k)－k＝(k＋1)·－k＝(k＋1)f(k＋1)－(k＋1)＝(k＋1)[f(k＋1)－1]，∴当n＝k＋1时结论仍然成立.由(1)(2)可知：f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n[f(n)－1](n≥2，n∈N+).考点二　利用数学归纳法证明不等式(典例迁移)【例2】(经典母题)已知数列{an}，an≥0，a1＝0，a＋an

8、＋1－1＝a，求证：当n∈N+时，an