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《2019版高考数学大一轮复习第十二章推理与证明、算法、复数第3节数学归纳法及其应用学》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、第3节数学归纳法及其应用最新考纲1.了解数学归纳法的原理；2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.I基础诊断回归教材，夯实基础知识梳理1.数学归纳法证明一个与正整数刀有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当〃取第一个值灿GWNJ时命题成立;⑵(归纳递推)假设n=k(k»,圧NJ时命题成立，证明当〃=斤+1时命题也成立.只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从必开始的所有正整数都成立.2.数学归纳法的框图表示［常用结论与微点提醒］1.数学归纳法证题时初始值处不一定是1.2.推证n=k+时一定要用上n=k时的假设，否则不是数学归纳法.
2、3.解“归纳一一猜想一一证明”题的关键是准确计算出前若干具体项，这是归纳、猜想的基础.诊断自测1•思考辨析(在括号内打“厂或“X”)(1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证时结论成立.()(2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明.()(3)用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用.()(4)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由n=k到/?=&+1时，项数都增加了一项.()解析对于(1)，有的证明问题第一步并不是验证刀=1时结论成立，如证明凸刀边形的内角和为(刀一2)・180°,第一步要验证〃=3时结论成立，所以(1)不正确
3、；对于(2),有些命题也可以直接证明；对于(3),数学归纳法必须用归纳假设；对于(4),由n=k到刃=斤+1,有可能增加不止一项.答案（l）X（2）X（3）x（4）X2.（教材习题改编）在应用数学归纳法证明凸〃边形的对角线为寺7（/7—3）条时，第一步检验〃等于（）A.1B.2C.3D.4解析三角形是边数最少的凸多边形，故笫一步应检验77=3.答案C3.用数学归纳法证明“1+2+F+…+2”一'=2”一的过程屮，第二步假设刀=&时等式成立，则当n=k+1时，应得到（）A.l+2+22+-+2*_2+2*_,=2A+l-lB.l+2+22+-+2*
4、+2*+1=2A-l+2mC.l+2+22+-+2A_，+2/r+1=2A+l-lD.1+2+2?——2k~[+2k=2k+i~l解析观察可知等式的左边共刀项，故n=k+1时，应得到1+2+22+-+2a_14-2a=2x+1-1.答案D4.用数学归纳法证明1"+2"（z?—l）'+z?：'+（Z7—1）2H2"+12=刀时,由n=£的假设到证明n=k+1时，等式左边应添加的式子是（）A.（斤+1尸+2尸B.（A+l）2+A2C.（斤+1）2D.
5、（^+1）[2（Zt+1）2+1]解析由n=k到/?=&+1时,左边增加（k+DM.答案B5.用数学
6、归纳法证明“当刀为正奇数时，/+/能被x+y整除”,当第二步假设n=2k~1（斤WNJ命题为真时，进而需证刀=时，命题亦真.解析由于步长为2,所以2斤一1后一个奇数应为2斤+1.答案2£+1考点突破琦粘彩PPT2师讲解分类讲练，以例求法考点一利用数学归纳法证明等式【例1】用数学归纳法证明：1一2n(2刀+2)=4(刀+1)gNJ•证明(1)当；?=1时,等式左边=2xix(2X1+2)=耳'等式右边=77占77詁'等式左边=等式右边，所以等式成立.(2)假设&(圧N-且WM1)时等式成立,即有_[2X4'4X6'6X812k(2斤+2)一4(斤+
7、1)'则当n=k+时，^<4+4X6+6X8+，，*+2>l(2A+2)+2(A+1)[2(A+1)+2]_k(k+2)+14"+1)(W+2)4(A+l)+4(A+l)(A+2)(&+1)&+14(A+1)(&+2)—4(A+2)k+1_4[(A+l)+1]・所以当n=k+1时，等式也成立,由(1)(2)可知，对于一切刀GN”等式都成立.规律方法用数学归纳法证明等式应注意的两个问题(1)要弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，以及初始值久的值.⑵由n=k到刀=&+1时，除考虑等式两边变化的项外还要充分利用n=k时的式子，即充分利用假设，
8、止确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明.【训练1]设/(/?)=1+£+!丄(〃WNJ.求证：f(l)+f(2)HA/?-1)=n_f{ri)—z3n1](刀22，门GN)・证明⑴当n=2时，左边=f(l)=l,右边=2(1+扌一11,左边=右边，等式成立.(2)假设n=k(k22,AeN-)时，结论成立，即f(l)+f(2)+・・・+£(&—1),那么，当n=k+l时，f(1)+f(2)+…+f(斤一1)+f@=A[ra)-i]+ra)=(w+i)f(力一£=(«+i)・f(£+1)=(A+1)fk+1)一(k+1)=(k+1)[f(k
9、+1)-1],・••当n=k+时结论仍然成立.由(1)(2)可知:AD+A2)+•••+An-1)=n[f(n)-l](/?^2,/?
