高考数学大一轮复习第十二章复数算法推理与证明数学归纳法练习理含解析.doc

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1、第5讲数学归纳法[基础题组练]1．用数学归纳法证明“2n>n2＋1对于n≥n0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取(　　)A．2　　　　　　　　　　　B．3C．5D．6解析：选C.当n＝1时，21＝2＝12＋1，当n＝2时，22＝4<22＋1＝5，当n＝3时，23＝8<32＋1＝10，当n＝4时，24＝16<42＋1＝17，当n＝5时，25＝32>52＋1＝26，当n＝6时，26＝64>62＋1＝37，故起始值n0应取5.2．设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：当f(k)≥k＋1成立时，总能推出f(k＋1)≥k＋2成立，那么下列命题总成立的是(

2、　　)A．若f(1)<2成立，则f(10)<11成立B．若f(3)≥4成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k＋1成立C．若f(2)<3成立，则f(1)≥2成立D．若f(4)≥5成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k＋1成立解析：选D.当f(k)≥k＋1成立时，总能推出f(k＋1)≥k＋2成立，说明如果当k＝n时，f(n)≥n＋1成立，那么当k＝n＋1时，f(n＋1)≥n＋2也成立，所以如果当k＝4时，f(4)≥5成立，那么当k≥4时，f(k)≥k＋1也成立．3．用数学归纳法证明1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋，则当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上加上(　　)A.B．－C.－D.＋

3、解析：选C.因为当n＝k时，左端＝1－＋－＋…＋－，当n＝k＋1时，左端＝1－＋－＋…＋－＋－.所以，左端应在n＝k的基础上加上－.54．已知f(n)＝12＋22＋32＋…＋(2n)2，则f(k＋1)与f(k)的关系是(　　)A．f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2B．f(k＋1)＝f(k)＋(k＋1)2C．f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋2)2D．f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2解析：选A.f(k＋1)＝12＋22＋32＋…＋(2k)2＋(2k＋1)2＋[2(k＋1)]2＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2.5．利用数学归纳法证明不等式1＋＋

4、＋…＋1)时，第一步应验证的不等式是________．解析：由n∈N*，n>1知，n取第一个值n0＝2，当n＝2时，不等式为1＋＋<2.答案：1＋＋<27．用数学归纳法证明不等式＋＋…＋>(n≥2)的过程中，由n＝k推导n＝k＋1时

5、，不等式的左边增加的式子是________．解析：不等式的左边增加的式子是＋－＝，故填.答案：8．用数学归纳法证明＋＋…＋>－，假设n＝k时，不等式成立，5则当n＝k＋1时，应推证的目标不等式是________________．答案：＋＋…＋＋>－9．用数学归纳法证明等式12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1·n2＝(－1)n－1·.证明：(1)当n＝1时，左边＝12＝1，右边＝(－1)0×＝1，左边＝右边，原等式成立．(2)假设n＝k(k≥1，k∈N*)时等式成立，即有12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1·k2＝(－1)k－1·.那么，当n＝k＋1时，12－22

6、＋32－42＋…＋(－1)k－1·k2＋(－1)k·(k＋1)2＝(－1)k－1·＋(－1)k·(k＋1)2＝(－1)k·[－k＋2(k＋1)]＝(－1)k·.所以当n＝k＋1时，等式也成立，由(1)(2)知，对任意n∈N*，都有12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1·n2＝(－1)n－1·.10．已知整数p>1，证明：当x>－1且x≠0时，(1＋x)p>1＋px.证明：用数学归纳法证明．①当p＝2时，(1＋x)2＝1＋2x＋x2>1＋2x，原不等式成立．②假设当p＝k(k≥2，k∈N*)时，不等式(1＋x)k>1＋kx成立．则当p＝k＋1时，(1＋x)k＋1＝(1＋x

7、)(1＋x)k>(1＋x)·(1＋kx)＝1＋(k＋1)x＋kx2>1＋(k＋1)x.所以当p＝k＋1时，原不等式也成立．综合①②可得，当x>－1且x≠0时，对一切整数p>1，不等式(1＋x)p>1＋px均成立．[综合题组练]1．用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数，不等式·…·>均成立．5证明：①当n＝2时，左边＝1＋＝，右边＝.因为左边>右边，所以不等式成立．②假设当n＝k(k≥2，且k∈N*)时不等式成立，即·…·>.则当n＝k＋1时，·…·>·＝＝>＝＝.所以当n＝k＋1时，不等式也成立．由①②知，对于一