高考数学大一轮复习第十二章复数算法推理与证明《合情推理与演绎推理》练习理含解析

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1、第3讲合情推理与演绎推理[基础题组练]1.观察下列各式:a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,…,则a10+b10=(  )A.121         B.123C.231D.211解析:选B.法一:令an=an+bn,则a1=1,a2=3,a3=4,a4=7,…,得an+2=an+an+1,从而a6=18,a7=29,a8=47,a9=76,a10=123.法二:由a+b=1,a2+b2=3,得ab=-1,代入后三个等式中符合,则a10+b10=(a5+b5)2-2a5b5=123.2.给出下面类比推理命题(其

2、中Q为有理数集,R为实数集,C为复数集):①“若a,b∈R,则a-b=0⇒a=b”类比推出“若z1,z2∈C,则z1-z2=0⇒z1=z2”;②“若a,b,c,d∈R,则复数a+bi=c+di⇒a=c,b=d”类比推出“若a,b,c,d∈Q,则a+b=c+d⇒a=c,b=d”;③“若a,b∈R,则a-b>0⇒a>b”类比推出“若z1,z2∈C,则z1-z2>0⇒z1>z2”.其中类比得到的结论正确的个数是(  )A.0    B.1C.2    D.3解析:选C.由复数的减法运算可知①正确;因为a,b,c,d都是有理数,是无理数,所以②正确;因为复数不

3、能比较大小,所以③不正确.3.(2019·广西柳州模拟)给出以下数对序列:(1,1)(1,2)(2,1)(1,3)(2,2)(3,1)(1,4)(2,3)(3,2)(4,1)……记第i行的第j个数对为aij,如a43=(3,2),则anm=(  )A.(m,n-m)B.(m-1,n-m)C.(m-1,n-m+1)D.(m,n-m+1)解析:选D.由前4行的特点,归纳可得,若anm=(a,b),则a=m,b=n-m+1,所以anm=(m,n-m+1).故选D.4.(2019·福建莆田质量检测)“干支纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法,干支是

4、天干和地支的总称.把干支顺序相配正好六十为一周,周而复始,循环记录,-7-这就是俗称的“干支表”.甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸这十个符号叫天干;子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥这十二个符号叫地支.如公元1984年农历为甲子年,公元1985年农历为乙丑年,公元1986年农历为丙寅年,则公元2047年农历为(  )A.乙丑年B.丙寅年C.丁卯年D.戊辰年解析:选C.记公元1984年为第一年,则公元2047年为第64年,即天干循环了六次,第四个为“丁”.地支循环了五次,第四个为“卯”,所以公元2047年农历为丁卯年,故选C.5.如图所

5、示,椭圆中心在坐标原点,F为左焦点,当⊥时,其离心率为,此类椭圆被称为“黄金椭圆”.类比“黄金椭圆”,可推算出“黄金双曲线”的离心率e等于  (  )A.B.C.-1D.+1解析:选A.设“黄金双曲线”的方程为-=1(a>0,b>0),则B(0,b),F(-c,0),A(a,0).在“黄金双曲线”中,因为⊥,所以·=0.又=(c,b),=(-a,b),所以b2=ac.而b2=c2-a2,所以c2-a2=ac.在等号两边同除以a2,得e2-1=e,解得e=.6.观察下列式子:<2,+<,++<8,+++<,…,根据以上规律,第n(n∈N*)个不等式是__

6、__________________.-7-解析:根据所给不等式可得第n个不等式是++…+<.答案:++…+<7.祖暅是我国南北朝时代的数学家,是祖冲之的儿子.他提出了一条原理:“幂势既同,则积不容异.”这里的“幂”指水平截面的面积,“势”指高.这句话的意思是:两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等,则这两个几何体体积相等.设由椭圆+=1(a>b>0)所围成的平面图形绕y轴旋转一周后,得一橄榄状的几何体(称为椭球体)(如图),课本中介绍了应用祖暅原理求球体体积公式的方法,请类比此法,求出椭球体体积,其体积等于______________.解

7、析:椭圆的长半轴长为a,短半轴长为b,现构造两个底面半径为b,高为a的圆柱,然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点,圆柱上底面为底面的圆锥,根据祖暅原理得出椭球体的体积V=2(V圆柱-V圆锥)=2(πb2a-πb2a)=πb2a.答案:πb2a8.设f(x)=,先分别求f(0)+f(1),f(-1)+f(2),f(-2)+f(3),然后归纳猜想一般性结论,并给出证明.解:f(0)+f(1)=+=+=+=,同理可得:f(-1)+f(2)=,f(-2)+f(3)=,并注意到在这三个特殊式子中,自变量之和均等于1.归纳猜想得:当x1+x2=1时,均有f(

8、x1)+f(x2)=.证明:设x1+x2=1,f(x1)+f(x2)=+==-7-===.9.

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