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1、用中点坐标公式巧解三等分点问题题1(北京市西城区2014届高三一模理科第19题)已知椭圆VV：y+y2=l,直线/与W相交于两点，/与x轴、y轴分别相交于C、D两点，O为坐标原点.(1)若直线/的方程为x+2y-l=0,求OCD外接圆的方程:(2)判断是否存在直线使得C,D是线段MN的两个三等分点，若存在，求出直线I的方程；若不存在，说明理由.参考答案(1)因为直线/的方程为兀+2)一1=0,所以直线/与兀轴的交点C(l,0),与即OCD外接圆的圆心为得线段CD的中点(
2、,
3、),
4、CZ)
5、=J14-(-)2=—24Y22(歸，半径为扣皿孚所以AOCD外接圆的方程为(兀一+(y一$2=224
6、16(2)存在直线I,使得C,D是线段MN的两个三等分点•理由如下:由题意知，可设直线/的方程为y=kx+,N(x2,y2),得y=kx+m由方程组得(1+2k2)x2+Ahwc+2加$一2=0.所以△=16疋一8加2+8>0.由韦达定理，得西+吃-4km1+2疋2m2-21+2疋由C,D是线段MTV的两个三等分点，得线段M/V的中点与线段CD的中点重合.所以西+/謬解得k=±耳.由C,D是线段的两个三等分点，得MN=3CD.所以Jl+疋
7、x,-x21=3J（¥）2+m2,即,,/-4km、2’2m2-2「加］也（備）亠丹“丁解得m=±—,且满足A>0.所以存在直线4使得GD是线段MN
8、的两个三等分点，且此时直线/的方程为Z土遁.25下面用中点坐标公式给出第(2)问的巧解：存在直线/,使得C,D是线段MN的两个三等分点.理由如下:由题意知，可设C(£,O),D(Oj),由C是MD的中点，得M(2s-t).同理可得N(—s,2t).片2I由点M,N均在椭圆W：—+/=1上，可得52=-,r2=-,然后得点M,N的坐标,255进而可得答案.22题2(2004年高考广东卷第22题)设直线/与椭圆£+話=1相交于A3两点，/又与双曲线X2-/=1相交于C,D两点,C,D三等分线段AB.求直线/的方程.参考答案设A(xa,yA),B(xB,yB).C(xc,yc),D(xD,yD),得
9、C,£>三等分线段4B的充要条件是线段AB,CD的中点重合(即心+心二乞+%)且
10、A冲=3
11、切.(1)当直线/的斜率不存在吋，设/:%=/?.x=h厂—庐r~rr由工+£=］得=±4{1-亦，网=叽_儿
12、=叩-方；25~16~]得》C,Q=±V/?2-1,CD=yD-yc=2^h2-1.因为山月=耳4,所以=3><2如_1/=±磊7^1.此时川=±磊厕.(2)当直线/的斜率存在时，设ly=kx+b.y=kx+b22二+―1,〔2516（25疋+16）x2+5恥兀+（2防-400）=050kh25/?2-400XA+XB=9^XAXB=——JAB25^+16AB25^+16y=kx+bx
13、2-y2=U伙彳一l）x2+2kbx+⑹+1）=02kbb2+1k2-]Xc+Kp=一fTJ，兀=因为xA^-xB=xc+xD,所以一玛越一=严,得£=0或b=0.25k+16k—1i）若k=0,可得%=土討6，嗣=%-讣討6；兀up—土』b?+1,CD=XXqI二2JZ?~+1.再rti网=3
14、CD
15、,得
16、a/16-/?2=6^lb2+lyb=±j
17、.此时l:y=±—.13ii）若b=0,由弦长公式得
18、ab）=^bp
19、ab
20、2=9
21、CD
22、2,也即（无+%）2~4xaxb=9[（艺+%）2-4xcxo]“c一4001因为兀A+x〃=%C=0,xAx8=,XCXD=———4〃cDA〃25疋+16
23、ck2--4009z,16=k=+—25疋+16k~-V_25*此时/:y=±—x.25综上所述，可得所求直线/的方程是x=±—V241,y=±—^y=±—x.2411325简解设C(a,b),D(c,〃)，由C是AD的中点，得A(2a_c,2b_d).同理可得B(2c-a,2d-b).由点C,D均在双曲线x2-y2=l,得a2-h2=c2-d2=f所以a2-c2=b2-d2①22由点AB均在椭圆—+^-=1上，得251616(2a—c)2+25(2/?-d)2=l6(2c-a)2+25(2d一b)2=400,所以16(/—云)+25(，-d2)=0②由①②可得，a2-c2=b2-d2=0
24、.X点、C(a,b),D(c,d)不重合，所以有以下三种情形：(1)6Z=cJLZ?=-d.[a2-h~=125/——可得彳°°卫=±——审，所以此时直线/的方程是[13+225&2=400241x=±—V24?.241(2)a=—c且〃=d.ci—Z?~=l1616可得｛°°小=±—,所以此时直线/的方程是y=±—・[144r/2+25^2=4001313(3)a=-cHb=-d.可得F一八'
