多维柯西不等式

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1、柯西不等式【柯西不等式的主要内容】1.柯西主要贡献简介：柯西（Cauchy），法国人，生于1789年，是十九世纪前半叶最杰出的分析家.他奠定了数学分析的理论基础.数学中很多定理都冠以柯西的名字，如柯西收敛原理、柯西中值定理、柯西积分不等式、柯西判别法、柯西方程等等.2.二维形式的柯西不等式：若，则,当且仅当时,等号成立.证法10.（综合法）当且仅当时,等号成立.证法20.（构造法）分析：而的结构特征那么，证：设，∵0恒成立.∴.得证.证法30.（向量法）设向量，，则，.∵，且，有.∴.得证.变式10.若，则或；变式20.若，则；变式30.（三角形不等式）设为任意

2、实数，则：3.一般形式的柯西不等式：设为大于1的自然数，(1,2,…,)，则：.当且仅当时,等号成立.(若时，约定，1,2,…,).变式10.设则：.当且仅当时,等号成立.8变式20.设则：.当且仅当时,等号成立.如果一个定理与很多学科或者一个学科的很多分支有着密切联系，那么这个定理肯定很重要.而柯西不等式与我们中学数学中的代数恒等式、复数、向量、几何、三角、函数等各方面都有联系.所以,它的重要性是不容置疑的！☆柯西不等式的应用：例1.已知实数满足，.试求的最值例2在实数集内解方程例3设是三角形内的一点，是到三边的距离，是外接圆的半径，证明：例4(证明恒等式)已

3、知求证：。8例5(证明不等式)设求证:【同步训练】1.已知，求证：2.已知是不全相等的正数，求证：3.已知.4.设求证：85.已知实数满足,求的取值范围.6.已知且求证：7.已知正数满足证明8.若n是不小于2的正整数，试证：。8参考答案:一般形式的柯西不等式：设为大于1的自然数，(1,2,…,)，则：，其中等号当且仅当时成立(当时，约定，1,2,…,).等号成立当且仅当柯西不等式不仅在高等数学中是一个十分重要的不等式，而且它对初等数学也有很可的指导作用，利用它能高远瞩、居高临下，从而方便地解决一些中学数学中的有关问题。例1解：由柯西不等式得，有即由条件可得，解得

4、，当且仅当时等号成立，代入时，时例2解：由柯西不等式，得①又.即不等式①中只有等号成立.从而由柯西不等式中等号成立的条件，得它与联立，可得例3证明：由柯西不等式得，记为的面积，则8故不等式成立。例4证明：由柯西不等式，得当且仅当时，上式取等号，于是。例5分析：这道题初看似乎无法使用柯西不等式，但改变其结构，我们不妨改为证：证明：为了运用柯西不等式，我们将写成于是即故我们进一步观察柯西不等式，可以发现其特点是：不等式左边是两个因式这和，其中每一个因式都是项平方和，右边是左边中对立的两两乘积之和的平方，证题时，只要能将原题凑成此种形式，就可以引用柯西不等式来证明。练

5、习1．证：∴∴82、3．4、5．6．7．证明：利用柯西不等式8又因为在此不等式两边同乘以2，再加上得：故9、证明：证明：所以求证式等价于由柯西不等式有于是：又由柯西不等式有8