2020版高考数学高考必考题突破讲座3数列的综合问题课时达标理（含解析）新人教A版

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1、高考必考题突破讲座(三)1．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，S3＋S4＝S5.(1)求数列{an}的通项公式；(2)令bn＝(－1)n－1an，求数列{bn}的前2n项和T2n.解析(1)设等差数列{an}的公差为d，由S3＋S4＝S5得a1＋a2＋a3＝a5，即3a2＝a5，所以3(1＋d)＝1＋4d，解得d＝2.所以an＝1＋(n－1)×2＝2n－1.(2)由(1)可得bn＝(－1)n－1·(2n－1)，所以T2n＝1－3＋5－7＋…＋(4n－3)－(4n－1)＝(－2)×n＝－2n.2．(2019·东

2、北三省四校模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d≠0，且S3＋S5＝50，a1，a4，a13成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{bn}的前n项和Tn.解析(1)依题意得解得所以an＝2n＋1.(2)因为＝3n－1，所以bn＝an·3n－1＝(2n＋1)·3n－1，所以Tn＝3＋5×3＋7×32＋…＋(2n＋1)×3n－1,3Tn＝3×3＋5×32＋…＋(2n－1)×3n－1＋(2n＋1)×3n，－2Tn＝3＋2×3＋2×32＋…＋2×3n－1－(2n＋1)×

3、3n＝3＋2×－(2n＋1)×3n＝－2n×3n，所以Tn＝n·3n.3．(2019·南昌模拟)已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，满足4λSn＝(an＋λ)2，其中λ＞0，且是a1，a2的等比中项．(1)求数列{an}的通项公式；(2)求证：当n≥2时，＋＋＋…＋＜.解析(1)当n＝1时，4λS1＝(a1＋λ)2，所以(a1－λ)2＝0，得a1＝λ；当n≥2时，4λSn－1＝(an－1＋λ)2，得4λan＝(an＋λ)2－(an－1＋λ)2，即(an＋an－1)(an－an－1－2λ)＝0.因为数列{an}的各

4、项均为正数，所以an－an－1＝2λ，则a2＝3λ，a1a2＝3λ2，又是a1，a2的等比中项，所以a1a2＝3，由λ＞0得λ＝1，所以an－an－1＝2，a1＝1，所以数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列，故an＝2n－1.(2)证明：由(1)得4Sn＝(2n－1＋1)2，即Sn＝n2，当n≥2时，＝＝，则＋＋＋…＋＝＋＋＋…＋＝1＋＝1＋＝－－＜.4．已知二次函数y＝f(x)的图象经过坐标原点，其导函数为f′(x)＝6x－2，数列{an}的前n项和为Sn，点(n，Sn)(n∈N*)均在函数y＝f(x)的图象上．(1

5、)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝，试求数列{bn}的前n项和Tn.解析(1)设二次函数f(x)＝ax2＋bx(a≠0)，则f′(x)＝2ax＋b.由于f′(x)＝6x－2，得a＝3，b＝－2，所以f(x)＝3x2－2x.又因为点(n，Sn)(n∈N*)均在函数y＝f(x)的图象上，所以Sn＝3n2－2n.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n－[3(n－1)2－2(n－1)]＝6n－5；当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2×1＝6×1－5，也适合上式，所以an＝6n－5(n∈N*)．(2)由(1)得bn＝＝

6、＝，故Tn＝＝＝.5．已知数列{an}满足a1＝3，－＝1，n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝log2，数列{bn}的前n项和为Sn，求使Sn<－4的最小自然数n.解析(1)由－＝1，n∈N*知数列{}是以2为首项，1为公差的等差数列，所以＝2＋n－1＝n＋1，所以an＝n2＋2n，故数列{an}的通项公式为an＝n2＋2n.(2)bn＝log2＝log2＝log2(n＋1)－log2(n＋2)，则Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝log22－log23＋log23－log24＋…＋log2(n＋1)－log

7、2(n＋2)＝1－log2(n＋2)，由Sn<－4得1－log2(n＋2)<－4，解得n>30，故满足Sn<－4的最小自然数n为31.6．已知{xn}是各项均为正数的等比数列，且x1＋x2＝3，x3－x2＝2.(1)求数列{xn}的通项公式；(2)如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点P1(x1,1)，P2(x2,2)，…，Pn＋1(xn＋1，n＋1)得到折线P1P2…Pn＋1，求由该折线与直线y＝0，x＝x1，x＝xn＋1所围成的区域的面积Tn.解析(1)设数列{xn}的公比为q，由已知得q＞0.由题意得所以3q2－5

8、q－2＝0.因为q＞0，所以q＝2，x1＝1，因此数列{xn}的通项公式为xn＝2n－1.(2)过P1，P2，…，Pn＋1向x轴作垂线，垂足分别为Q1，Q2，…，Qn＋1.由(1)得xn＋1－xn＝2n－2n－1＝2n－1，记梯形PnPn＋1Qn＋1Qn的面积为bn，由题意得bn＝×2n－