2020版高考数学高考必考题突破讲座4立体几何的综合问题课时达标文（含解析）新人教A版

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1、高考必考题突破讲座　(四)1．(2017·江苏卷)如图，在三棱锥A－BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.求证：(1)EF∥平面ABC；(2)AD⊥AC.证明(1)在平面ABD内，因为AB⊥AD，EF⊥AD，所以EF∥AB.又因为EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC.(2)因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，BC⊂平面BCD，BC⊥BD，所以BC⊥平面ABD.因为AD⊂平面ABD，所以BC⊥A

2、D.又AB⊥AD，BC∩AB＝B，AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，所以AD⊥平面ABC.又因为AC⊂平面ABC，所以AD⊥AC.2．如图，在直角三角形ABC中，A＝60°，沿斜边AC上的高BD将△ABD折起到△PBD的位置，点E在线段CD上．(1)求证：PE⊥BD；(2)过点D作DM⊥BC交BC于点M，点N为PB的中点，若PE∥平面DMN，求的值．解析(1)证明：因为BD⊥PD，BD⊥CD，且PD∩CD＝D，PD，CD⊂平面PCD，所以BD⊥平面PCD.又PE⊂平面PCD，所以BD⊥PE.(2)由题意得BM＝BC

3、，取BC的中点F，则PF∥MN.又PF⊄平面DMN，MN⊂平面DMN，所以PF∥平面DMN.又因为PE∥平面DMN，PE∩PF＝P，所以平面PEF∥平面DMN，平面PEF∩平面BDC＝EF，平面DMN∩平面BDC＝DM，所以EF∥DM，所以＝＝.3．(2017·全国卷Ⅲ)如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD＝CD.(1)证明：AC⊥BD；(2)已知△ACD是直角三角形，AB＝BD，若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．解析(1)证明：取AC的中点O，连接DO

4、，BO.因为AD＝CD，所以AC⊥DO.又由于△ABC是正三角形，所以AC⊥BO.从而AC⊥平面DOB，故AC⊥BD.(2)连接EO.由(1)及题设知∠ADC＝90°，所以DO＝AO.在Rt△AOB中，BO2＋AO2＝AB2，又AB＝BD，所以BO2＋DO2＝BO2＋AO2＝AB2＝BD2，故∠DOB＝90°.由题设知△AEC是直角三角形，所以EO＝AC.又△ABC是正三角形，且AB＝BD，所以EO＝BD.故E为BD的中点，从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的，四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的

5、，即四面体ABCE与四面体ACDE的体积之比为1∶1.4．如图1，在矩形ABCD中，AB＝12，AD＝6，E，F分别为CD，AB边上的点，且DE＝3，BF＝4，将△BCE沿BE折起来至△PBE的位置(如图2所示)，连接AP，PF，其中PF＝2.图1　　　　　　　　　　　图2　　　　(1)求证：PF⊥平面ABED；(2)求点A到平面PBE的距离．解析(1)证明：在题图2中，连接EF，由题意可知PB＝BC＝AD＝6，PE＝CE＝CD－DE＝9，在△PBF中，PF2＋BF2＝20＋16＝36＝PB2，所以PF⊥BF.在题图

6、1中，连接EF，作EH⊥AB于点H，利用勾股定理，得EF＝＝，在△PEF中，EF2＋PF2＝61＋20＝81＝PE2，所以PF⊥EF，又因为BF∩EF＝F，BF⊂平面ABED，EF⊂平面ABED，所以PF⊥平面ABED.(2)如图，连接AE，由(1)知PF⊥平面ABED，所以PF为三棱锥P－ABE的高．设点A到平面PBE的距离为h，因为VA－PBE＝VP－ABE，即××6×9×h＝××12×6×2，所以h＝，即点A到平面PBE的距离为.5．如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E为PB的中点．(1)

7、求证：CE∥平面PAD；(2)在线段AB上是否存在一点F，使得平面PAD∥平面CEF？若存在，证明你的结论，若不存在，请说明理由．解析(1)证明：取PA的中点H，连接EH，DH.因为E为PB的中点，所以EH∥AB，EH＝AB，又AB∥CD，CD＝AB，所以EH∥CD，EH＝CD，因此四边形DCEH是平行四边形，所以CE∥DH，又DH⊂平面PAD，CE⊄平面PAD，故CE∥平面PAD.(2)存在点F为AB的中点，使平面PAD∥平面CEF.证明如下：取AB的中点F，连接CF，EF，所以AF＝AB，又CD＝AB，所以AF＝

8、CD，又AF∥CD，所以四边形AFCD为平行四边形，因此CF∥AD，又CF⊄平面PAD，所以CF∥平面PAD，由(1)可知CE∥平面PAD，又CE∩CF＝C，故平面CEF∥平面PAD，故存在AB的中点F满足要求．6．在四棱锥E－ABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，EC⊥底面ABCD，点F为BE的中点．(1)求证：DE∥平面AC