2020版高考数学高考必考题突破讲座5圆锥曲线的综合问题课时达标理（含解析）新人教A版

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1、高考必考题突破讲座　(五)1．已知双曲线C1与椭圆＋＝1有相同的焦点，并且经过点.(1)求C1的标准方程；(2)直线l：y＝kx－1与C1的左支有两个相异的公共点，求k的取值范围．解析(1)依题意，双曲线C1的焦点坐标为F1(－4,0)，F2(4,0)，设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，则2a＝＝4，即a＝2，又因为c＝4，所以b2＝c2－a2＝12.故双曲线的标准方程为－＝1.(2)由得(3－k2)x2＋2kx－13＝0，设该方程的两根分别为x1，x2，则解得－

2、焦点为F(1,0)，且点P在椭圆C上，O为坐标原点．(1)求椭圆C的标准方程；(2)设过定点T(0,2)的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，且∠AOB为锐角，求直线l的斜率k的取值范围．解析(1)由题意得c＝1，所以a2＝b2＋1，①又点P在椭圆C上，所以＋＝1，②由①②可解得a2＝4，b2＝3，所以椭圆C的标准方程为＋＝1.(2)设直线l的方程为y＝kx＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(4k2＋3)x2＋16kx＋4＝0，因为Δ＝16(12k2－3)＞0，所以k2＞，则x1＋x2＝，x1x2＝.因为∠AOB为锐角，所以·＞0，即x1x2＋y1y2

3、＞0，所以x1x2＋(kx1＋2)(kx2＋2)＞0，所以(1＋k2)x1x2＋2k(x1＋x2)＋4＞0，即(1＋k2)·＋2k·＋4＞0，解得k2＜.又k2＞，所以＜k2＜，解得－＜k＜－或＜k＜.所以直线l的斜率k的取值范围为∪3．在平面直角坐标系xOy中，过点C(2,0)的直线与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)．(1)求证：y1y2为定值；(2)是否存在平行于y轴的定直线被以AC为直径的圆截得的弦长为定值？如果存在，求出该直线方程和弦长；如果不存在，说明理由．解析(1)证明：设直线AB的方程为my＝x－2，由得y2－4

4、my－8＝0，所以y1y2＝－8.因此有y1y2＝－8为定值．(2)设存在直线l：x＝a满足条件，则AC的中点E，

5、AC

6、＝.点A在抛物线上，所以y＝4x1，因此以AC为直径的圆的半径r＝

7、AC

8、＝＝，又点E到直线x＝a的距离d＝.故直线l被圆截得的弦长为2＝2＝＝.当1－a＝0，即a＝1时，弦长为定值2，这时直线方程为x＝1.4．已知长轴长为4的椭圆＋＝1(a＞b＞0)过点P，点F是椭圆的右焦点．(1)求椭圆方程；(2)是否存在x轴上的定点D，使得过D的直线l交椭圆于A，B两点．设点E为点B关于x轴的对称点，且A，F，E三点共线？若存在，求出D点坐标；若不存在，

9、请说明理由．解析(1)由题意知2a＝4，所以a＝2.把点P的坐标代入＋＝1，得＋＝1，解得b2＝3.所以椭圆方程为＋＝1.(2)存在定点D(4,0)满足条件．设D(t,0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．则E(x2，－y2)，设直线l的方程为x＝my＋t，联立消去x，得(3m2＋4)y2＋6mt·y＋3t2－12＝0，所以且Δ＞0.所以＝(x2－1，－y2)，＝(x1－1，y1)，则由A，F，E三点共线，得(x2－1)y1＋(x1－1)y2＝0，即(my2＋t－1)y1＋(my1＋t－1)y2＝0，即2my1y2＋(t－1)(y1＋y2)＝0，所以2m·＋(

10、t－1)·＝0，解得t＝4，所以存在定点D(4,0)满足条件．5．如图，已知椭圆C：＋y2＝1(a＞1)的上顶点为A，右焦点为F，直线AF与圆M：x2＋y2－6x－2y＋7＝0相切．(1)求椭圆C的方程；(2)若不过点A的动直线l与椭圆C相交于P，Q两点，且·＝0，求证：直线l过定点，并求出该定点N的坐标．解析(1)将圆M的一般方程x2＋y2－6x－2y＋7＝0化为标准方程为(x－3)2＋(y－1)2＝3，圆M的圆心为M(3,1)，半径为r＝.由A(0,1)，F(c,0)(c＝)得直线AF：＋y＝1，即x＋cy－c＝0.由直线AF与圆M相切得＝.所以c＝或c＝－(

11、舍去)．所以a＝，所以椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)证明：由·＝0知AP⊥AQ，从而直线AP与坐标轴不垂直，由A(0,1)可设直线AP的方程为y＝kx＋1，直线AQ的方程为y＝－x＋1(k≠0)，将y＝kx＋1代入椭圆C的方程＋y2＝1并整理，得(1＋3k2)x2＋6kx＝0，解得x＝0或x＝－，因此P的坐标为，即.将上式中的k换成－，得Q.所以直线l的方程为y＝·＋，化简得直线l的方程为y＝x－.因此直线l过定点N.6．(2019·湖南师大附中期中)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的短轴长为2，且椭圆C的顶点在圆M：x2＋2＝上．(1)求椭圆C的方程；(2)过

12、椭圆的上焦