2020版高考数学高考必考题突破讲座1函数与导数的综合问题课时达标文（含解析）新人教A版

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1、高考必考题突破讲座　(一)1．(2019·河北武邑中学月考)已知函数f(x)＝2alnx－x2.(1)若a＝2，求函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程；(2)若a＞0，判断函数f(x)在定义域上是否存在最大值或最小值，若存在，求出函数f(x)的最大值或最小值．解析(1)当a＝2时，f(x)＝4lnx－x2.f′(x)＝－2x，f′(1)＝2，f(1)＝－1，所以函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程为y＋1＝2(x－1)，即2x－y－3＝0.(2)f′(x)＝－2x＝，x>0.令f′(x)＝0，由a>0，解得x1＝，x2＝－(舍去)．当x在(0，＋∞)上变化时，f′

2、(x)，f(x)的变化情况如下表.x(0，)(，＋∞)f′(x)＋0－f(x)单调递增alna－a单调递减所以函数f(x)在区间(0，＋∞)上有最大值，f()＝alna－a，无最小值．2．已知函数f(x)＝lnx－x2＋f′·.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)证明：f(x)<2ex(e为自然对数的底数)．解析(1)由题意知，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－2x＋f′，则f′＝2－1＋f′，解得f′＝2，所以f(x)＝lnx－x2＋x＋2，所以f′(x)＝－2x＋1＝，令f′(x)>0，解得0

3、1)，单调递减区间为(1，＋∞)．(2)证明：由(1)知f(x)max＝f(1)＝2，x2＋x＋1＞0恒成立，所以不等式f(x)<2ex等价于x2＋x＋10)，所以g′(x)＝ex－x－1，令h(x)＝ex－x－1，所以h′(x)＝ex－1，当x>0时，h′(x)>0恒成立，所以g′(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以g′(x)>g′(0)＝0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，则g(x)>g(0)＝0，即ex－>0，所以f(x)<2ex.3．已知函数f(x)＝alnx(a＞0)，e为自然对数的底数．(1)若过点A(2，f(2))的切线斜率为2，求实数a的

4、值；(2)当x＞0时，求证：f(x)≥a；(3)若在区间(1，e)上e－ex＜0恒成立，求实数a的取值范围．解析(1)由题意得f′(x)＝，所以f′(2)＝＝2，所以a＝4.(2)证明：令g(x)＝a(x>0)，则g′(x)＝a.令g′(x)>0，即a>0，解得x>1，令g′(x)<0，解得0.令h(x)＝，则h′(x)＝.由(2)知当x∈(1，e)时，lnx－1＋>0，所以h′(x)>0，即h(x)

5、在(1，e)上单调递增，所以h(x)

6、1.因为x∈[－1,2]，所以当x∈和x∈(1,2)时，f′(x)>0，函数f(x)是增函数，当x∈时，函数f(x)是减函数，函数的极大值为f＝c＋，极小值为f(1)＝－＋c，而f(2)＝2＋c>c＋，f(－1)＝＋c>－＋c.所以当x∈[－1,2]时，要使两函数图象有三个交点，则要有c＋≤2c

7、2ax＋1＝0，即lnx＝2ax－1，所以a＝，所以函数g(x)的零点个数等价于函数y＝a与y＝图象的交点个数．令φ(x)＝，则φ′(x)＝－，所以x∈(0,1)时，φ′(x)>0，φ(x)单调递增；x∈(1，＋∞)时，φ′(x)<0，φ(x)单调递减且φ(x)>0，所以x＝1时，φ(x)有极大值，作出两函数的大致图象，如图所示，由图可知，当a>时，两函数图象无交点，g(x)无零点；当a≤0或a＝时，两函数图