定积分学年论文2

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1、定积分的性质与应用学生姓名：学号：数学与信息科学学院统计学指导教师：职称：讲师摘要：定积分在数学屮占有很重要的地位，它是数学知识的基础，是学习经济学的必备知识，定积分理论的建立，是数学摆脱了许多与无穷冇关的困扰,下面介绍了有关定积分的基础内容，通过定义、性质和有关应用来进一步了解和认识定积分.关键词：定积分;定义；性质；应用TheCalculationofDoubleIntegralsAbstract:Definiteintegralinmathematicsoccupiesveryimportantposition,itisthefoundation

2、ofthemathematicalknowledge,islearningthenecessaryknowledgeofeconomics,theestablishmentofthedefiniteintegraltheory,isoutofmanymathematicsrelatedtoinfinity,thefollowingcontentaboutthebasisofthedefiniteintegralisintroduced,bydefiningthepropertiesandrelevantapplicationstofurtherunde

3、rstandinganddefiniteintegral.Keywords:Definiteintegral;Definition;Properties;application引言不定积分和定积分是积分淫屮的两个基本大问题，求不定积分是求导数的逆运算，定积分则是某种特殊和式的极限，它们Z间既有区别又有联系.1.定积分的定义定义1设闭区间［a,b］上有比-1个点，依次为a=x0

4、人2}•小区间的长度为*并记Irll=max{Ar.},称为分割T的模.定义2设/是定义在［a,b］上的一个函数.对于［a,b］的一个分割厂=仏皿2,任取点gw,i=l,2,…,仏并作和式/=!称此和式为函数/在［d,b］上的一个积分和，也称黎曼和.2.定积分的性质性质1若厂在［a,b］上可积,£为常数，则幼在［価上也可积,且^kf{x)dx=k^f(x}lx・性质2若几g都在［a,b］上可积，则f±g在［a⑹上也可积,且(［/(兀)士g(兀加=打(必士fg(说.性质3若f,g都在［a,b］上可积，则在［a,b］上也可积.性质4/在［a,b］上可积的充

5、要条件是：任给cw(d,b),/在［q,c］与［c,b］上都可积.此时又有等式打(尤肚=打(兀加+cJf{xlx按定积分的定义，记号打(兀冷只冇当ovb时才有意义，

6、何当或时本来是没有意义的•但为了运用上方便，对它作如下规定：规定1当a=b时，令^f{xlx=0；规定2当时，令］f(x}Jx=_f/(兀冷.有了这个规定后，等式［f^lx=［f(x)dx+c^f(x)dx对于a,b,c的任何大小顺序都能成立•例如，当avbvc时，只要在［a,c］上可积，则有=f/（也•性质5设/为[a,b]上的可积函数•若/(x)>O,x€[a9b]9贝ljf/(

7、恥>0・推论(积分不等式性)若.f与g为[a,b]上的两个可积函数，且/(x)5g(x),xw[a,b],则有[,f{x)dx0,则由连续函数

8、的局部保号性,存在兀。的某邻域(兀o-八兀。+6)(当兀°F或如"时,则为右邻域或左邻域),使在其中/(x)>^i>0.由性质4和性质5推知[f(x)dx=[：y(x)rfx+[+/(x0x>o+仏i/兀+o=/(x0)j>o,这与假设^f(x)dx=0相矛盾.所以/(x)=0,xg[a,b3•积分中值定理定理1(积分第一中值定理)若/在［°,b］上连续，则至少存在一点使得打(恥=/(§)0-a).例3试求/(x)=sinx在［0,龙］上的平均值.解：所求平均值为广(§)=丄Psinxdx=--cosx：=—.兀4兀兀定理2(推广的积分第一中值定理)

9、若/与g都在［%］上连续，且g(x)在［d,b］上不变号，则至少存在一点^［a,b］,使得［f