4.定积分 (2)

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1、第四章定积分本章主要知识点l定积分计算l特殊类函数的定积分计算l变限积分l定积分有关的证明题l广义积分敛散性l定积分应用（1）面积（2）旋转体体积一、定积分计算定积分计算主要依据牛顿—莱伯尼兹公式：设，则。其主要计算方法与不定积分的计算方法是类似的，也有三个主要方法，但需要指出的是对于第Ⅱ类直接交换法，注意积分限的变化：。例4.1．解：原式==例4.2．解：原式==例4.3．解：原式====二、特殊类函数的定积分计算1．含绝对值函数利用函数的可拆分性质，插入使绝对值为0的点，去掉绝对值，直接积分即可。例4.4．解：原式=例4.5．解：原

2、式======102．分段函数积分例4.6．，求解：原式=====例4.7．，求解：原式3．奇函数积分如果为定义在的奇函数，则，这是一个很重要考点。例4.8．例4.9．解：原式例4.10．解：原式例4.11．为[-a,a]上的连续函数，计算解：为奇函数，原式＝04．关于三角函数积分对积分成立：；这个结论应牢记，对于某些三角函数积分可以做到快捷。例4.12．解：原式例4.13．解：原式.5．一些特殊的含有特定技巧的积分例4.14.解：令，原式＝I＝，，则I＝。例4.15．解：令原式＝I＝＝，解得I＝。例4.16．解：令，原式＝I＝－＝，I

3、＝三、变限积分变上限积分是函数的另一种重要形式。求导公式（其中）是一个非常重要的公式，它提供了利用导数来研究它的工具．更一般的结论是：例4.17．解：原式例4.18．解：原式例4.19．已知，研究的单调性，凹凸性．解：由得拐点拐点拐点例4.20．若，其中是已知一阶可导函数，求，解：，例4.21.已知函数连续。且。设，求，并讨论的连续性。解：．当时，；当时，由，故，当，,,,所以，点点连续。四、有关定积分的证明题有关定积分的证明题，主要的方法有：（1）线性交换，如（2）变上限求导公式（3）恒等变形。例4.22．如果为上的奇函数，证明。证明

4、：例4.23．证明：，其中为已知可积函数。证明：左边例4.24．已知是以为周期的连续函数，那么对任何实数成立证明：由于所以例4.25．证明：，为任一非零可积函数。证明：，所以。例4.26．证明：证明：当时，成立，所以，所以，成立例4.27．证明：证明：两边同时取，所以原命题成立。五、广义积分的敛散性定义：存在有限基本结论：（其中）复习时应着重掌握通过直接计算来研究广义积分的敛散性。例4.28．研究的敛散性解：所以，是收敛的。例4.29．求解：左边，。例4.30．当为何值时，广义积分收敛？当为何值时，这个广义积分发散？又当为何值时，广义积

5、分取得最小值？解：当时，有当，发散，即，当时，广义积分收敛；时，广义积分发散。设，则令，得驻点：。但当时，；当时，；从而，当时，广义积分取极小值，也就是最小值。注：类似可研究无界函数积分，即瑕积分。假设为的瑕点，存在有限。例5.26．解：原式＝，所以原式发散。例4.27．解：原式＝＝六、定积分应用1．面积图示4.1如图所示。求面积首要问题是画出草图，图形的上下位置，交点一定要做得准确。通常曲线，例直线、抛物线、双曲线、指数、对数、的图像要画得熟练、准确。例4.28．与直线所围图形面积。解：由，解得。图示4.2e例4.29．轴所围图形面积

6、。解：图示4.3例4.30．所围图形面积。解：y图示4.4==例4.31．求由过抛物线y=上点的切线与抛物线本身及轴所围图形的面积。解：切线的方程：，，图示4.5==。例4.32．过作抛物线两切线，求两切线与抛物线本身所围图形的面积.。解；设切点为，，切线方程为，又切点位于其上，，切线方程为；图示4.62．旋转体体积绕轴旋转所得图形的体积（图4.7）图示4.7绕轴旋转所得图形的体积（图4.7）绕轴旋转所得图形的体积（图4.8）绕轴旋转所得图形的体积（图4.8）图示4.8例4.33．与所围部分，（1）绕轴旋转所得图形的体积；（2）绕轴旋转

7、所得图形的体积。解：①②图示4.9例4.34．抛物线（1）抛物线上哪一点处切线平行于轴？写出切线方程？（2）求由抛物线与其水平切线及轴所围平面图形的面积。（3）求该平面图绕轴旋转所成的旋转体的体积。解：（1），得切点为，切线方程为（2）4（3）图示4.10例4.35．计算由和轴所围成的平面图形绕轴，轴分别旋转而得到的旋转体的体积。解：（1）（2）3．应用综合例4.36．由直线及抛物线围成一个曲边三角形，在曲边上求一点，使曲线在该点处的切线与直线的围成的三角形面积最大。解：如图，设所求切点为P（）切线PT交轴于A,交直线于，切线PT的方程

8、为又P点在上，因此，，令得，A点坐标为A(,令得，B点的坐标为（8，16），于是三角形ABC的面积为令,得：,因为，所以为最小值，故为所有三角形中面积之最小值。图示4.11单元练习41．设，则