修正混合Halpern迭代序列的强收敛性【文献综述】

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1、毕业设计文献综述数学与应用数学修正混合Halpern迭代序列的强收敛性非线性算子方程属于非线性泛函分析的范畴,是泛函分析的理论和应用的一个重要组成部分,它的理论和方法不仅是线性最优化的一个重要部分,而且在微分方程,积分方程,力学,控制论,对策论,经济平衡理论,交通运输,社会和经济模型等许多方面都有着重要的应用.因此,研究非线性算子方程解的存在性及迭代算法理论不仅具有重要的理论意义,而且也具有重要的应用价值.而非线性算子方程的解往往可以转化为某个非线性算子的不动点问题.自20世纪初著名的Banach压缩映像原理和Brouwer不动点定理问世以来,特别是最近二三十年来,由于实际需要的推动和数学工作

2、者的不断努力,这门学科的理论及应用的研究已取得重要的进展,并且日趋完善.非线性算子类型很多,包括压缩映像,非扩张映像,伪压缩映像,渐近非扩张映像,渐近伪压缩映像,单调映像,增生映像等等.非扩张映像是压缩映像的一种推广,在求解方程的不动点的问题上起到很重要的作用,它在近代数学许多分支都有应用,特别是在非线性半群,遍历定理和单调算子理论方面有着重要的应用.随着非扩张映像不动点理论的发展,学者们得出了关于非扩张映像的一系列结论.其中,非扩张映像的定义为设是一实Banach空间,是中的闭凸子集,的一个映射,若,.则是一非扩张映像.Mann受到Banach压缩映像原理的启发,在1953年,Mann引进了

3、如下迭代方法,称为Mann迭代格式.(1.1)其中是Banach空间,是的闭凸子集,.对于非扩张映像我们可以利用Mann迭代序列得到弱收敛定理,而要想得到强收敛定理却要加上一定的紧性条件.1974年,Ishikawa提出了比Mann迭代序列更一般的形式,即Ishikawa迭代序列（1.2）其中是Banach空间的闭凸子集,,.Mann迭代序列对于非扩张映像即使在Hilbert空间框架下也没有强收敛定理,但是用Halpern迭代序列逼近非扩张映像不动点是一个有效的算法,可以得到强收敛定理.1967年,Halpern首次引进了如下迭代格式(1.3)Halpern指出如果迭代序列(1.3)收敛于中的

4、不动点.则满足以下两个条件,.1977年,Lions研究了在Hilbert空间中满足下列条件,,.则迭代序列(1.3)强收敛于在中一个不动点.然而,Lions的条件在参数的选择上是更加严格,但是排除了的这种自然选择.1980年,Reich提出如果空间是一个一致光滑的,并且则有迭代序列(1.3)强收敛于的一个不动点.最近Xu改进了Lions的结果,他证明了如果满足条件,,.则迭代序列(1.3)强收敛.1992年,Wittmann克服了这个缺陷,指出当是一个Hilbert空间,并且满足,,.则迭代序列(1.3)强收敛于在中一个不动点.1994年,Reich指出当是一个一致光滑并且具有弱连续的对偶映

5、像,可以减少两个必要的条件,迭代(1.3)也成立.最近Chang继续研究迭代格式,当是一致光滑Banach空间,并且满足,,.则强收敛于的一个不动点.张石生教授在最近的文章中也证明了上述定理.同时,关于迭代参数限制的放宽和算法的改进研究一直是该领域的重要课题.引入复合Halpern迭代程序得到了非扩张映像的强收敛定理不仅具有重要的理论意义,而且也具有重要的应用价值.近几年秦小龙等人给出如下复合Halpern迭代格式(1.4)其中,u是中任一给定的一个点,,和是中的实序列.在参数,和满足一定条件下,证明了在(1.4)定义下的强收敛于的一个不动点.在(1.4)中,如果,,那么我们就得到通常的Hal

6、pern迭代格式(1.3).当,则(1.4)迭代格式如下(1.5)称此迭代格式为两步Halpern迭代格式.2007年,邢林芳研究了非扩张映像不动点的迭代逼近问题以及应用.2008年,Qin,Su和Shang引入的复合Halpern迭代更一般的具误差项的-步复合Halpern新迭代,在一致光滑Banach空间框架下,对迭代参数作适当的假定,证明了此算法强收敛于非扩张映射的不动点,从而将Qin、Su和Shang的2008年结果从无误差项的三步复合Halpern迭代本质地推广到具误差项的多步复合Halpern迭代.与此同时,姚永红等人提出两步Halpern迭代,而秦小龙等人提出了三步粘滞迭代序列,

7、证明了强收敛到的不动点,其中是非扩张映像.近几年来,粘滞迭代方法也是众多学者关注的对象,不仅利用这种方法研究非线性算子方程的不动点,而且用来研究变分不等式解的问题.2000年,Moudafi引入粘滞迭代方法逼近给定非扩张映像的特定不动点,具体证明了如下定理定理1设是一致光滑的Banach空间,是的闭凸子集,映像是具有非空不动点集的非扩张映像,是一收缩.又设序列且满足下列条件限制;;或.那么由迭代格