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《Hilbert空间中严格伪压缩映像的Halpern与粘滞迭代序列的收敛定理【文献综述】》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。
1、毕业设计文献综述信息与计算科学Hilbert空间中严格伪压缩映像的Halpern与粘滞迭代序列的收敛定理非线性算子方程属于非线性泛函分析的范畴,是泛函分析的理论和应用的一个重要组成部分,它的理论和方法不仅是线性最优化的一个重要部分,而且在微分方程,积分方程,力学,控制论,对策论,经济平衡理论,交通运输,社会和经济模型等许多方面都有着重要的应用.因此,研究非线性算子方程解的存在性及迭代算法理论不仅具有重要的理论意义,而且也具有重要的应用价值.而非线性算子方程的解往往可以转化为某个非线性算子的不动点问题.自20世纪初著名的Banach压缩映像原理
2、和Brouwer不动点定理问世以来,特别是最近二三十年来,由于实际需要的推动和数学工作者的不断努力,这门学科的理论及应用的研究已取得重要的进展,并且日趋完善.非线性算子类型很多,包括压缩映像,非扩张映像,伪压缩映像,渐近非扩张映像,渐近伪压缩映像,单调映像,增生映像等等.其中最简单的一类映像是压缩映像,其定义为:设是度量空间,映像称为压缩映像,如果对于常数,有.压缩映像的不动点问题,即著名的Banach压缩映像原理已经由Banach在1992年用Picard迭代证明了.非扩张映像是压缩映像的推广,在求解方程的不动点的问题上起到很重要的作用,它
3、在近代数学许多分支都有应用,特别是在非线性半群,遍历定理和单调算子理论方面有着重要的应用.随着非扩张映像不动点理论的发展,学者们得出了关于非扩张映像的一系列结论.其定义为:设为一个实Banach空间,是的一个非空闭凸子集,自映像,称为非扩张映像,如果,有.而非扩张映像的一个重要推广是严格伪压缩映像.其定义为:设是Hilbert空间的非空子集,映射是严格伪压缩映像,4如果存在常数有当严格伪压缩映像的定义中的常数列时,映像称为非扩张映像,如果,称为伪压缩映像.可见,严格伪压缩族严格包括非扩张映像族.严格伪压缩映像介于非扩张映像和伪压缩映像之间.然
4、而,非线性映像的不动点的寻求是学者们一直所关心的问题,而对于一些具体的非线性算子方程不动点的求解是十分困难的.因此,数学家们通过构造迭代序列去逼近不动点来求解这些方程,其中Picard给出了最早的迭代序列,其具体格式为但是Banach压缩原理证明中所用的Picard迭代方法对于非扩张映像却未必是收敛的,之后Mann受到Banach压缩映像原理的启发,在1953年提出了如下的迭代序列称之为正规Mann迭代序列.1976年,Ishikawa推广了Mann迭代格式,得到了如下的Ishikawa迭代序列然而为了证明Mann格式或Ishikawa格式产
5、生的序列强收敛于非扩张映像的某个不动点,你往往要求映像的定义域或映像本身具有某种紧性.紧性假设是很强的条件,能否找到一种新的迭代格式在没有紧性条件的假设下,仅依赖与非扩张映像本身的性质收敛于映像的不动点呢?回答是肯定的.在1967年,Halpern首先引入了如下迭代格式,称之为Halpern迭代并且Halpern指出如果迭代格式想要收敛到任意非扩张映像的不动点,那么必须满足其中两个条件和.1977年,lion仍然在Hilbert空间的框架下改进了4Halpern的结果,当满足下列条件时证明了强收敛到的不动点,从参数限制条件的角度推广了Halp
6、ern的结果,1980年,Reich证明了当是一致光滑Bananch空间时,Halpern的结果依然是成立的.但是Reich和Lions的条件都排除了的自然选择:.这点瑕疵在1992年被Wittmann克服,即满足条件的同时,只需要再满足条件:，那么强收敛到的不动点.两年后,Reich把Wittmann的结果由Hilbert空间推广到了一致光滑具有弱序列连续对偶的Banach空间.1997年,Shioji和Takashshi将Wittmann的结果推广到范数满足一致Gateaux可微的Banach空间,将映像的定义进一步放宽.2002年,Xu
7、从两方面推广了Lion的结果.首先他减弱了Lion结果中的条件,把分母中的替换成了.另一方面,他在一致光滑Banach空间框架下利用Halpern迭代格式得到了非扩张映像的强收敛定理.2000年,Moudafi引入粘滞迭代方法逼近给定非扩张映像的特定不动点,不仅利用这种方法研究非线性算子方程的不动点,而且用来研究变分不等式解的问题.2004年,Xu改进了Moudafi的结果,在一致光滑的Banach空间中给出了粘滞迭代的强收敛定理.2005年,Song和Chen对Xu的结果进行了推广与改进.2006年,Marino和Xu研究了Hilbert空
8、间中非扩张映像的不动点的迭代逼近问题.同年,Martinez和Xu在Hilbert框架下借助于度量投影,针对非扩张映像修正了Ishikawa迭代程序.2009年,H
