2019年高考数学专题二三角函数与解三角形第3讲解三角形（一）梯度训练（含解析）新人教A版

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1、第3讲　解三角形(一)选题明细表知识点·方法巩固提高A巩固提高B三角形判断62,3,4,6,8正弦定理和余弦定理1,4,5,7,10,111,7,9,10,11面积问题2,3,14,165解三角形综合问题8,9,12,13,15,1712,13,14,15巩固提高A一、选择题1.在△ABC中,A=60°,a=4,b=4,则B等于(　C　)(A)45°或135°(B)135°(C)45°(D)30°解析:由正弦定理=,即=,得sinB=,因为a>b,所以A>B,所以B=45°.故选C.2.在△ABC中,A=,AB=

2、2,其面积等于,则BC等于(　C　)(A)3(B)7(C)(D)解析:因为A=,AB=2,面积S==AB·AC·sinA=×2×AC×,所以AC=1,所以BC===.故选C.3.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a2=b2+c2-bc,bc=4,则△ABC的面积为(　C　)(A)(B)1(C)(D)2解析:由题意可得cosA==,则sinA==,S△ABC=bcsinA=.故选C.4.在△ABC中,已知A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=3,c=8,B=60°,则sinA等于(　A　)(

3、A)(B)(C)(D)解析:由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB=9+64-24=49,b=7,由正弦定理=,得sinA=sinB=.故选A.5.(2018·全国Ⅱ卷)在△ABC中,cos=,BC=1,AC=5,则AB等于(　A　)(A)4(B)(C)(D)2解析:因为cos=,所以cosC=2cos2-1=2×()2-1=-.在△ABC中,由余弦定理,得AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cosC=52+12-2×5×1×(-)=32,所以AB==4.故选A.6.a,b,c均为正实数,则长度等于a,b

4、,c的三条线段能构成锐角三角形的充要条件是(　D　)(A)a2+b2

5、B+C),所以2sinCcosB=2sin(B+C)+sinB,所以sinB+2sinBcosC=0,因为sinB≠0,所以2cosC+1=0,所以cosC=-.因为c=3ab,所以9a2b2=c2=a2+b2-2abcosC=a2+b2+ab≥3ab.解得ab≥.故选B.8.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知c2sinAcosA+a2sinCcosC=4sinB,cosB=,D是线段AC上一点,且S△BCD=,则等于(　B　)(A)(B)(C)(D)解析:由c2sinAcosA+a2si

6、nCcosC=4sinB,可得ac2·+ca2·=4b,解得ac=4.又因为cos∠ABC=,可得sin∠ABC=,得S△ABC=acsinB=,又S△BCD=,则==,=.故选B.二、填空题9.在△ABC中,∠C=90°,M是BC的中点.若sin∠BAM=,则sin∠BAC=　　　　. 解析:因为sin∠BAM=,所以cos∠BAM=.如图,在△ABM中,利用正弦定理,得=,所以===.在Rt△ACM中,有=sin∠CAM=sin(∠BAC-∠BAM).由题意知BM=CM,所以=sin(∠BAC-∠BAM).化

7、简,得2sin∠BACcos∠BAC-cos2∠BAC=1,即=1.所以=1,所以tan2∠BAC-2tan∠BAC+2=0,解得tan∠BAC=.再结合sin2∠BAC+cos2∠BAC=1,∠BAC为锐角可解得sin∠BAC=.答案:10.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,cosA=,sinC=,a=1,则b等于　　　　. 解析:因为cosA=,所以sinA=,因为sinC=,所以A>C,从而cosC=,sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=×+×=,由正弦定理=,所以

8、b===.答案:11.已知△ABC的三边a,b,c成等比数列,则角B的取值范围是　　　　. 解析:因为b2=ac,所以cosB==≥=.因为B∈(0,π),所以B∈(0,］.答案:(0,］12.(2018·浙江卷)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=,b=2,A=60°,则sinB=　　　　,c=　　　　. 解析:如图,由正弦定理=,得sinB=·s