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1、第4讲 解三角形(二)核心整合1.解三角形的实际应用(1)仰角和俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角,目标视线在水平视线__________叫仰角,目标视线在水平视线______叫俯角(如图①).上方下方正北(2)方向角相对于某正方向的水平角,如南偏东30°,北偏西45°等.(3)方位角指从____________方向顺时针转到目标方向线的水平角,如B点的方位角为α(如图②).2.平面向量中的三角形问题在△ABC中,O为△ABC所在平面内一点3.立体几何中的三角形问题在三棱锥P
2、-PABC中,点P在平面ABC内的射影为O.(1)若P到三个顶点的距离相等,则O为△ABC的外心;若三条侧棱PA,PB,PC与底面ABC所成的角相等,则O为△ABC的外心.(2)若O在△ABC内且P到三边的距离相等,则O为△ABC的内心;若O在△ABC内且三个侧面PAB,PAC,PBC与底面ABC所成的角相等,则O为△ABC的内心.(3)若三条侧棱PA,PB,PC两两垂直,则O为△ABC的垂心.【归纳拓展】立体几何中的三角形问题,可通过射影等转化到平面三角形中进行解决.核心突破考点一实际问题中的解
3、三角形(1)将l放在容器Ⅰ中,l的一端置于点A处,另一端置于侧棱CC1上,求l没入水中部分的长度;(2)将l放在容器Ⅱ中,l的一端置于点E处,另一端置于侧棱GG1上,求l没入水中部分的长度.方法技巧解三角形问题,多为边和角的求值问题,其基本步骤是:第一步:定条件,即确定三角形中的已知和所求,在图形中标出来,然后确定转化的方向.第二步:定工具,即根据条件和所求合理选择转化的工具,实施边角之间的互化.第三步:求结果.【题组训练】1.(2017·浙江卷)我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π
4、,理论上能把π的值计算到任意精度.祖冲之继承并发展了“割圆术”,将π的值精确到小数点后七位,其结果领先世界一千多年,“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S6,S6=.2.在200m高的山顶上,测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°,60°,则塔高是m.答案:32考点二向量、立体几何中的三角形问题(2)若a+b=3,a(cosA+cosB)=(b-a)cosA,求△ABC的面积.方法技巧本题主要考查了向量的数量积运算,正弦定理及三角形面积的求解问题.第一问利用向量的数量积定义及三角恒等变
5、换等知识求出角C的大小,第二问是一个解三角形的问题,可由正弦定理以及三角形内角和为π等知识解决.【题组训练】B(A)18(B)3(C)15(D)9A3.已知直线ax+by+c=0(abc≠0)与圆x2+y2=1相离,则三条边长分别为︱a︱,︱b︱,︱c︱的三角形是()(A)锐角三角形(B)直角三角形(C)钝角三角形(D)以上均有可能C5.直三棱柱ABC-A1B1C1的各顶点都在同一球面上,若AB=AC=AA1=2,∠BAC=120°,则此球的表面积等于.答案:20π阅卷评析三角形面积公式应用【典例
6、】(14分)(2016·浙江卷)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2acosB.(1)证明:A=2B;【答案启示】(1)已知边角关系解三角形关键是边角转化,若求角或角的关系,则需把已知式子中的边转化为三角函数;若求边或边的关系,则需把三角函数转化为边.(2)由三角函数值或三角函数关系求角或角的关系时,注意角的范围.(3)等式两边约去公因式时要说明公因式不为零.
