弧，弦，圆心角导学案 (2)

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1、24.1.3　弧、弦、圆心角1.通过学习圆的旋转性，理解圆的弧、弦、圆心角之间的关系．2.运用上述三者之间的关系来计算或证明有关问题．重点：圆的弧、弦、圆心角之间的关系定理．难点：探索推导定理及其应用．一、自学指导．自学：自学教材P83～84内容，回答下列问题．探究：1．顶点在__圆心__的角叫做圆心角，能够重合的圆叫做__等圆__；能够__重合__的弧叫做等弧；圆绕其圆心旋转任意角度都能够与原来的图形重合，这就是圆的__旋转性__．2．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧__相等__，所对的弦也__相

2、等__．3．在同圆或等圆中，两个__圆心角__，两条__弦__，两条__弧__中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等．4．在⊙O中，AB，CD是两条弦，(1)如果AB＝CD，那么__＝，__∠AOB＝∠COD__；(2)如果＝，那么__AB＝CD__，__∠AOB＝∠COD；(3)如果∠AOB＝∠COD，那么__AB＝CD__，＝__．二、自学检测：51．如图，AD是⊙O的直径，AB＝AC，∠CAB＝120°，根据以上条件写出三个正确结论．(半径相等除外)(1)__△ACO_≌_△ABO__；(2

3、)__AD垂直平分BC__；(3)＝.2．如图，在⊙O中，＝，∠ACB＝60°，求证：∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.证明：∵＝，∴AB＝AC.又∵∠ACB＝60°，∴△ABC为等边三角形，∴AB＝AC＝BC，∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.,第2题图)　　　,第3题图)3．如图，(1)已知＝.求证：AB＝CD.(2)如果AD＝BC，求证：＝.证明：(1)∵＝，∴＋＝＋，∴＝，∴AB＝CD.(2)∵AD＝BC，∴＝，5∴＋＝＋，即＝.一、小组合作：1．⊙O中，一条弦AB所对的劣弧为圆周的，则弦AB所对的圆

4、心角为__90°__．点拨精讲：整个圆周所对的圆心角即以圆心为顶点的周角．2．在半径为2的⊙O中，圆心O到弦AB的距离为1，则弦AB所对的圆心角的度数为__120°__．3．如图，在⊙O中，＝，∠ACB＝75°，求∠BAC的度数．解：30°.,第3题图)　　　,第4题图)4．如图，AB，CD是⊙O的弦，且AB与CD不平行，M，N分别是AB，CD的中点，AB＝CD，那么∠AMN与∠CNM的大小关系是什么？为什么？点拨精讲：(1)OM，ON具备垂径定理推论的条件．(2)同圆或等圆中，等弦的弦心距也相等．解：

5、∠AMN＝∠CNM.∵AB＝CD，M，N为AB，CD中点，∴OM＝ON，OM⊥AB，ON⊥CD，∴∠OMA＝∠ONC，∠OMN＝∠ONM，∴∠OMA－∠OMN＝∠ONC－∠ONM.即∠AMN＝∠CNM.二、跟踪练习：1．如图，AB是⊙O的直径，＝＝，∠COD＝35°，求∠5AOE的度数．解：75°.,第1题图)　　,第2题图)2．如图所示，CD为⊙O的弦，在CD上截取CE＝DF，连接OE，OF，它们的延长线交⊙O于点A，B.(1)试判断△OEF的形状，并说明理由；(2)求证：＝.解：(1)△OEF为等腰

6、三角形．理由：过点O作OG⊥CD于点G，则CG＝DG.∵CE＝DF，∴CG－CE＝DG－DF.∴EG＝FG.∵OG⊥CD，∴OG为线段EF的垂直平分线．∴OE＝OF，∴△OEF为等腰三角形．(2)证明：连接AC，BD.由(1)知OE＝OF，又∵OA＝OB，∴AE＝BF，∠OEF＝∠OFE.∵∠CEA＝∠OEF，∠DFB＝∠OFE，∴∠CEA＝∠DFB.在△CEA与△DFB中，AE＝BF，∠CEA＝∠BFD，CE＝DF，∴△CEA≌△DFB，∴AC＝BD，∴＝.5点拨精讲：(1)过圆心作垂径；(2)连接A

7、C，BD，通过证弦相等来证弧相等．学生总结本堂课的收获与困惑．圆心角定理是圆中证弧相等、弦相等、圆心角相等的常用方法．学习至此，请使用本课时对应训练部分．5