勾股定理的逆定理解题误区点击

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1、勾股定理的逆定理解题误区点击一、不能正确区分直角边和斜边　　【例1】已知一个三角形的三边长a=5，b=13，c=12，这个三角形是直角三角形吗？　　错解：不是.在三角形中，利用勾股定理，a2＋b2＝194，c2＝144.a2＋b2≠c2，故此三角形不是直角三角形.　　错解分析：本题中虽然a2＋b2≠c2，但我们不能因此就认定这个三角形不是直角三角形，我们应该首先分析一下这三个边，边长最长的应为斜边，即b为斜边，b2＝169，a2＋c2＝25＋144＝169，即a2＋c2＝b2，故这个三角形为直角三角形.因此我们在做题时，先找到最长边，即确定斜

2、边，可以让我们少走弯路.　　正确答案：是.　　【反思】勾股定理的逆定理是利用三角形的三边之间的数量关系来判定一个三角形是否为直角三角形的定理，我们在做题的时候一定要正确区分哪条为直角边哪条为斜边.　　二、考虑不全面造成漏解　　【例2】已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2－b2c2＝a4－b4，试判断△ABC的形状.　　错解：∵a2c2－b2c2＝a4－b4（1）　　∴c2（a2－b2）＝（a2＋b2）（a2－b2）（2）　　∴c2＝a2＋b2（3）　∴△ABC是直角三角形.　　错解分析：本题在由第（2）步到第（3）步的化简过程中没有

3、考虑到a2－b2＝0的情况就直接在等式两边除以一个可能为0的数，从而导致了错误．　　正解：∵a2c2－b2c2＝a4－b4　　∴c2（a2－b2）＝（a2＋b2）（a2－b2）　　（1）当a2－b2≠0时，化简后得c2＝a2＋b2　　∴△ABC是直角三角形.　　（2）当a2－b2＝0时，a＝b　　∴△ABC是等腰三角形.　　【反思】本题结合因式分解的知识，综合考查了提公因式法、公式分解法以及勾股定理的逆定理，同时还考查了等式的性质2：在等式两边不能同时除以一个可能为0的数，这往往是我们最容易忽视的地方，应引起大家的注意.　三、不能仅凭模糊记忆

4、　　【例3】在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，且（a＋b）（a－b）＝c2，则（　　）　　　A.∠A为直角　　　　　B.∠C为直角　　　C.∠B为直角　　　　　D.不是直角三角形　　错解：选B　　错解分析：在解这道题的时候导致错误的原因在于对已知条件粗略地分析得出存在平方关系之后就习惯性地认为边c的对角∠C一定表示直角.该题中的条件应转化为a2－b2＝c2，即a2＝b2＋c2，应根据这一关系进行判断.　　正解：∵a2－b2＝c2，∴a2＝b2＋c2.　　∴a边所对的角∠Ａ为直角.故选A.　　【反思】我们在判断直角三角形哪一

5、个角是直角的时候不能因为思维定势看到数量的平方关系就得到某个角是直角的结论.　　四、理解流于形式，造成思维定势　　【例4】已知三角形的三边为，c=1，这个三角形是直角三角形吗？　　错解：∵a2＝，b2＝，c2＝1，而a2＋b2≠c2，　　∴该三角形不是直角三角形.　　错解剖析：虽然a2＋b2≠c2，但不能急于否定这个三角形就不是直角三角形，因为我们发现有a2＋c2＝b2，所以这个三角形是直角三角形.　　正解：这个三角形是直角三角形．　　五、混淆勾股定理与逆定理　　【例5】在B港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东６0°方向以每小时8海里的速度前进

6、，乙船沿南偏东某个角度以每小时15海里的速度前进，2小时后，甲船到M岛，乙船到P岛，两岛相距34海里，你知道乙船是沿哪个方向航行的吗？　　错解:甲船航行的距离为BM=8×2＝16（海里），乙船航行的距离为BP=15×2＝30（海里）.　　∵＝34（海里）且MP=34（海里）　　∴△MBP为直角三角形．　　∴∠MBP＝90°.　　∴乙船是沿着南偏东30°方向航行.　　错解剖析：虽然最终判断的结果也是对的，但忽略了对使用勾股定理的前提条件的证明，犯了运用上的错误.　　正解：甲船航行的距离为BM=8×2＝16（海里），乙船航行的距离为BP=15×2

7、＝30（海里）.　　∵162＋302＝1156，342＝1156，　　∴BM2＋BP2＝MP2.　　∴△MBP为直角三角形.　　∴∠MBP＝90°.　　∴乙船是沿着南偏东30°的方向航行的