勾股定理的应用----最短路径

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1、勾股定理的应用----几何体的最短路径洪湖市第七中学向长华【教学目标】（一）知识与技能：能将实际问题转化为直角三角形的数学模型，并能用勾股定理解决简单几何体的最短路径实际问题。（二）过程与方法：1．让学生经历将几何体展开成平面图形即实际问题转化为直角三角形的数学模型过程，并能用勾股定理解决此问题，发展学生的应用意识。2．学会观察图形，勇于探索图形间的关系，培养学生的空间观念；将实际问题抽象成几何图形过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想。 3．在解决实际问题的过程中，使学生体验解决问题的策略，发展学生的实践能力和创新精神。（三）

2、情感态度与价值观1．在利用勾股定理探索实际问题的过程中使学生获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心。2．在解决实际问题的过程中让学生形成实事求是的态度以及进行质疑和独立思考的习惯。【教学重点】探索、发现给定事物中隐含的勾股定理，将实际问题转化为直角三角形模型,并用它解决生活实际问题。【教学难点】利用数学中的建模思想构造直角三角形，利用勾股定理解决实际问题。 教学准备：纸板做的正方体、长方体和圆柱，幻灯片。 教学过程：一、知识回顾:1、勾股定理的文字及符号语言2、在平面上如何求点与点、点与线的最短路径，依据什么？（1）两点之间线段最短（2）

3、垂线段最短3、那么如何求某些几何体中的最短路径呢？二、提出问题:活动一：圆柱中的最值问题蚂蚁怎样走最近：学生分组，测量、画图、计算、总结规律例1、如图在一个底面周长为20cm,高AA′为4cm的圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物在B处，恰好一只在A处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想沿圆柱的侧面从A处爬向B处，你们想一想，蚂蚁怎么走最近？ 操作猜想：（1）从A处爬向A′处，再从A′处爬向B处即AA′+A′B；不符合题意舍去；（2）同学们可自己做一个圆柱，尝试从A点到B点沿圆柱的侧面画出几条路线，你觉得哪条路线最短呢？（小组讨论）（3）如图，将

4、圆柱侧面剪开展开成一个长方形，从A点到B 点的最短路线是什么?你画对了吗?（4）蚂蚁从A点出发，想吃到B点上的食物，它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？（学生分组讨论，公布结果）试一试：有一圆形无盖油罐底面圆的周长为24m，高为6m，一只老鼠从距底面1m的A处爬行到对角B处吃食物，它爬行的最短路线长为多少？（学生独立完成，教师公布结果）活动二：长方体中的最值问题例3、如图是一块长，宽，高分别是6cm，4cm和3cm的长方体木块一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A处，沿着长方体的表面到长方体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是多少

5、厘米？第一种情况：把我们所看到的前面和上面组成一个平面第二种情况：把我们看到的左面与上面组成一个长方形第三种情况：把我们所看到的前面和右面组成一个长方形（学生分组讨论，画出展开平面图形，教师评讲）试一试：练习题:如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B离点C5cm,一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是多少？活动三：正方体中的最值问题 例2、如图，蚂蚁在边长为1的正方体A处嗅到了放置在正方体的B处位置上的面包，蚂蚁沿着正方体表面怎样的路线行走才能很快地吃到面包？蚂蚁行走的最短路线长是多少？（学生独立

6、完成，学生讲解）三、归纳总结 1、利用勾股定理求圆柱体 、正方体、 长方体的最短路径；2 、分别画出立体图形和对应的平面展开图；3、制作实体模型  ；4、归纳出所在直角三角形的两直角边的一般性规律，并记录在平面图或模型上。四、练习与作业：1．如图是一个棱长为4cm的正方体盒子，一只蚂蚁在D1C1的中点M处，它到BB1的中点N的最短路线是（　　）2．如图所示，一圆柱高8cm，底面半径2cm，一只蚂蚁从点A沿表面爬到点B处吃食，要爬行的最短路程（π取3）是3．如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C1处（三条棱长如图所示）

7、，问怎样走路线最短？最短路线长为多少？4．如图,长方体的高为12cm,底面是边长为8cm的正方形.这只蚂蚁从顶点A出发,沿长方体表面到达顶点C,蚂蚁走的路程最短为多少厘米？5．如图, 长方体的长、宽、高分别为7cm、5cm、10cm. 这只蚂蚁从顶点A出发,沿长方体表面到达顶点C,蚂蚁走的路程最短为多少厘米？