切线的计算与证明

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1、切线的证明和计算（玉贤中学九年级数学备课组）一、学习目标：运用圆的切线的性质与判定，进行证明和计算。二、学习重难点：与切线相关的辅助线的作法 三、学习过程：【活动一】知识回顾：圆的证明、计算题中常用的几个重要定理（提前完成）1.垂径定理定理及其推论：①垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。②平分弦()的直径（）于弦，并且（）弦所对的两条。③弦的垂直平分线过（），且（）弦对的两条弧。④平分一条弦所对的两条弧的直线过（），且（）和（）此弦。⑤两条平行弦所夹的弧（）。2.切线的判定定理、性质定理、切线长定理：(1)切线的判定：　　　①经过半径的（）并且垂直于这条半径的直线是圆的切

2、线。　　　②到圆心的距离（）圆的半径的直线是圆的切线。(2)切线的性质：　　　①圆的切线()于过()的半径。　　　②经过圆心作圆的切线的垂线经过()。　　　③经过切点作切线的垂线经过()。(3)切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的()叫做切线。(4)切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的()相等，这一点和圆心的连线()两条切线的夹角。【活动二】、基础练习：1、如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB，求证：直线AB是⊙O的切线。2、如图，直线AB是⊙O的直径，C是AB延长线上的一点，且BC=，∠PCA=30°，试判断⊙O与直线CP的位置关系，并证明你

3、的结论。4【活动三】方法总结：（1）若切点明确，则“连半径，证垂直”。（2）若切点不明确，则“作垂直，证半径”。【活动四】典型基本图型例析：已知：AB是⊙O的直径，点E、C是⊙O上的两点，AC平分∠BAE；AD⊥CD；（1）如图1，证明：DC是⊙O的切线。（2）如图2，证明DC=OF；如图3，证明DE=CF。（3）如图4：若CK⊥AB于K，证明：①CK=CD=BE；②BK=DE；③AE+AB=2AK=2AD。【活动五】总结：常见的数学思想方法有（1）构造思想：如：①构建矩形转化线段；②构造垂径定理模型：弦长一半、弦心距、半径；③构造勾股定理模型。（2）方程思想：设出未知数表示关键线段，

4、通过线段之间的关系，特别是发现其中的相等关系建立方程，解决问题。4【活动六】课后练习：1、如图，已知Rt△ABC，∠BCA=90°，以AB边上一点O为圆心，以OB为半径作⊙O交BC于点E；交AB于点F，弧EF的中点D在AC上，（1）证明：AC与⊙O相切；（2）若CE=1，CD=2，求⊙O的半径；（3）若，求的值。（改编自2008年中考题）；（4）延长FD交BC的延长线于G点，若DG=6，BF=10，求的值。（改编自2007年中考题）；（5）过点D作DG垂直平分OF，G为垂足，作直径DK，连接KE，若EC=2，求⊿EBK的面积。题1、2题3题4题542、以下问题都是由基本图型变形而来，请

5、同学们好好体会。图形变式1：如图5：AB是⊙O的直径，点E、C是⊙O上的两点，AC平分∠BAE；AD⊥CD；BG⊥CD于E时（如图5），基本结论有：证明：①DE=GB；②DC=CG；③AD+BG=AB；图形变式2：如图6已知，AB是⊙O的直径，C是中点，CD⊥AB于D，BG交CD、AC于E、F。基本结论有：证明：①CD=BG；BE=EF=CE；GF=2DE②OE=AF，OE∥AC；即OE是△ABF的中位线③若D是OB的中点，则：⊿CEF是等边三角形图6图形变式3：如图7：Rt⊿ABC中，∠ABC=90°,以AB为直径作⊙O交AC于D，DE切⊙O于点D交CB于点E。基本结论有：证明：①D

6、E=BE=CE；即E是CB中点。②∠CED=2∠A。图7图形变式4：如图8，⊿ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，交AC于点F，DE⊥AC基本结论有：证明：①DE切⊙O；②⊿DFC是等腰三角形；③EF=EC；③D是的中点，得AD是∠BAC的角平分线。图64