与圆的切线有关的证明与计算

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1、与圆的切线有关的证明与计算主备：刘勇审稿：王宝姿一、课前练习1．如图，在⊙O中，CD⊥AB于E，若∠BAD=30°，且BE=2，则CD=　　．2．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠AOB＝70°，AB＝AC，则∠ABC＝_______________.3．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，已知CD=12，则⊙O的直径为_______.4．如图AB是⊙O的直径，点E、C是⊙O上的两点，AC平分∠BAE，DC是⊙O的切线交AE的延长线于点D,DC=2，DE=1，则⊙O的半径为_______.5．如图

2、△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径，AM是BC边上的高，AB=4，AC=3，AM=2，则直径AD=______.二、考点梳理圆的证明与计算是中考中的一类重要的问题，主要以解答题的形式出现,一般有两问第1问主要是与圆有关的证明：①证明线段（或角）的数量关系、位置关系；②证明切线；③证明相似或比例式（乘积式）；第2问主要是与圆有关的计算：①求线段长（或面积）；②求线段比；③求角度的三角函数值（实质还是求线段比）。与圆有关的证明1、圆中的重要定理:(1)圆的定义:主要是用来证明四点共圆.(2)垂径定理:主

3、要是用来证明——弧相等、线段相等、垂直关系等等.(3)三者之间的关系定理:主要是用来证明——弧相等、线段相等、圆心角相等.(4)圆周角性质定理及其推轮:主要是用来证明——直角、角相等、弧相等.(5)切线的性质定理:主要是用来证明——垂直关系.(6)切线的判定定理:主要是用来证明直线是圆的切线.(7)切线长定理:线段相等、垂直关系、角相等.2、圆中几个关键元素之间的相互转化:弧、弦、圆心角、圆周角等都可以通过相等来互相转化.这在圆中的证明和计算中经常用到.3、判定切线的方法：（1）若切点明确，则“连半径

4、，证垂直”。常见手法有：全等转化；平行转化；直径转化；中线转化等；有时可通过计算结合相似、勾股定理证垂直；（2）若切点不明确，则“作垂直，证半径”。常见手法：角平分线定理；等腰三角形三线合一，隐藏角平分线；与圆有关的计算计算圆中的线段长或线段比，通常与勾股定理、垂径定理与三角形的全等、相似等知识的结合，形式复杂，无规律性。分析时要重点注意观察已知线段间的关系，选择定理进行线段或者角度的转化。特别是要借助圆的相关定理进行弧、弦、角之间的相互转化，找出所求线段与已知线段的关系，从而化未知为已知，解决问题。

5、其中重要而常见的数学思想方法有：1、构造思想：①构建矩形转化线段；②构建“射影定理”基本图研究线段（已知任意两条线段可求其它所有线段长）；③构造垂径定理模型：弦长一半、弦心距、半径；④构造勾股定理模型（已知线段长度）；⑤构造三角函数(已知有角度的情况）；找不到全等形、直角三角形，找相似2、方程思想：设出未知数表示关键线段，通过线段之间的关系，特别是发现其中的相等关系建立方程，解决问题。3、建模思想：借助基本图形的结论发现问题中的线段关系，把问题分解为若干基本图形的问题，通过基本图形的解题模型快速发现图

6、形中的基本结论，进而找出隐藏的线段之间的数量关系。三、经典例题例1．(2016·苏州)如图，AB是圆O的直径，D、E为圆O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得CD＝BD.连接AC交圆O于点F，连接AE、DE、DF.(1)证明：∠E＝∠C；(2)若∠E＝55°，求∠BDF的度数；(3)设DE交AB于点G，若DF＝4，cosB＝，E是弧AB的中点，求EG·ED的值．例2．(2016·南充)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC的平分线交BC于点O，OC＝1，以点O为圆心，OC为半径

7、作圆．(1)求证：AB为⊙O的切线；(2)如果tan∠CAO＝，求cosB的值．例3.如图：Rt⊿ABC中，∠ABC=90°,以AB为直径作⊙O交AC于D，DE是⊙O的切线交BC于点E.（1）求证：点E是BC的中点；（2）求证：CD·CA=4BE2；（3）若cosA＝，AB=6，求DE的长。四、反思构建五、达标检测1．(2016·温州)如图，在△ABC中，∠C＝90°，D是BC边上一点，以DB为直径的⊙O经过AB的中点E，交AD延长线于点F，连接EF.(1)求证：∠1＝∠F；(2)若sinB＝，EF＝

8、2，求CD的长．2．(2016·威海)如图，在△BCE中，点A为边BE上一点，以AB为直径的⊙O与CE相切于点D，AD∥OC，点F为OC与⊙O的交点，连接AF.(1)求证：CB是⊙O的切线；(2)若∠ECB＝60°，AB＝6，求图中阴影部分的面积．3．(2016·十堰)如图1，AB为半圆O的直径，D为BA的延长线上一点，DC为半圆O的切线，切点为C.(1)求证：∠ACD＝∠B；(2)如图2，∠BDC的平分线分别交AC，BC于点E，F；①求tan∠CFE的