专题9.2 “整体思想”的主要表现形式分类例析-备战2018年中考数学一轮微专题突破（解析版）

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1、“整体思想”的主要表现形式分类例析【专题综述】在数学解题过程中，我们若能善于从大处着眼，由整体（或全局）入手，将一些看似彼此独立实质上又紧密相关的数学对象视为一个整体去思考与分析，常常可以摆脱常规模式的羁绊，化难为易．本文按“整体思想”的主要表现形式分类例析，供参考．【方法解读】一、整体代换例1若x2－3x＋1＝0，则的值为________．分析解出x，再代入式中求值显然是不可取的．观察题设和待求式的联系，可得如下方法：[来源:学&科&网Z&X&X&K]点评整体运作，可以减少运算量，法一运用“逐步降次法”，法二运用“取倒数法”，看似玄妙，

2、其实并非无中生有，都是建立在整体感知已知条件和待求式的基础上完成的．其中，法一将已知条件变形得到一些“工具式”，再调整待求式，分离出这些“工具式”，巧妙代换，达到“降次”的目的，分离“工具式”还可以采用如下方法：分离x2－3x，以－1代换；分离x2＋1，以3x代换；分离x2－3x＋1，以0代换；分离x2＋x＋1，以4x代换；分离3x，以x2＋1代换；分离1，以3x－x2代换．二、整体消元例2如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝2，分别以AC、BC为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为_______（结果保留π）．分析利用

3、S1、a、S3共同构成小半圆，S1、b、S2共同构成大半圆，S1、a、b共同构成△ABC，可得[来源:Zxxk.Com]S1＋S3＋a＝·π·12；①S1＋S2＋b＝·π·22；②S1＋a＋b＝×2×4；③①＋②－③，得S1＋S2＋S3＝π－4．[来源:学

4、科

5、网Z

6、X

7、X

8、K]点评本例借用整体消元，大大减少运算量，使问题巧妙获解．此外，还用到了方程这架通过“已知”称量“未知”的数学天平，并通过对图形合理分割，整体组合，变“不标准图形”成“标准图形”，化难为易．[来源:学科网ZXXK]三、整体运算例3　已知M、N两点关于y轴对称，且点M在

9、双曲线y＝上，点N在直线y＝x＋3上，设点M的坐标为（a，b），则二次函数y＝－abx2＋(a＋b)x()(A)有最大值，最大值为(B)有最大值，最大值为9(C)有最小值，最小值为[来源:学科网](D)有最小值，最小值为9分析由M(a，b)，知N（－a，b）．又M在双曲线上，则ab＝；N在直线上，则b＝－a＋3，即a＋b＝3．于是，二次函数y＝－abx2＋(a＋b)x[来源:学_科_网]＝－x2＋3x[来源:学。科。网Z。X。X。K]＝－(x－3)2＋，它有最大值，为．点评本例考查了轴对称的性质，利用点在函数图象上，分别代入对应解析式，整

10、体运算，求得ab和a＋b的值，从而构建二次函数式，开展下一步研究．[来源:学科网]四、整体观察例4　如图2，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝5，点E、F分别在AB、CD上，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A、D分别落在矩形ABCD外部的点A1、D1处，则阴影部分图形的周长为()(A)15(B)20(C)25(D)30分析整体观察图形，由折叠过程可知阴影部分图形的周长为：EA1＋A1D1＋BC＋FC＋EB＋D1F＝EA＋AD＋BC＋FC＋EB＋DF＝(EA＋EB)＋AD＋BC＋(FC＋DF)＝AB＋AD＋BC＋CD＝2(AB＋BC)＝2(

11、10＋5)＝30．点评整体观察主要针对图形（或数式）的构造特征，从中发现规律，进而巧妙组合，顺利实现化归，优化思考，减化运算，本例的周长割补与组合，就源于这一点．五、整体联想例5　方程的解为_______．分析把原方程各分母分解因式，可得点评整体联想是在整体观察的基础上，结合问题的结构特征展开联想．“相关”、“相似”、“相近”、“因果”、“对比”等是联想的“桥梁”，善于联想可以为构造、完善图形（或数式）提供方法支撑，为转化、变更问题提供突破思路．六、整体转化例6　如果三个方程x2－2kx－2k＋3＝0，x2＋（k－1）x＋k2＝0，x2＋

12、kx－k＝0中，至少有一个方程有实根，求k的取值范围．分析分别考虑三个方程实根的情况将难以处理，而如果整体分析，从反面考虑，则问题可以顺利实现转化，设三个方程都没有实数根，则有：即当k≤－3或k≥－1时，三个方程中至少有一个方程有实根．点评对一些问题，要通过研究问题的整体形式和结构特征，变更命题，整体转化处理，达到突破问题的目的．七、整体补形例7　如图3(1)，六边形ABCDEF的六个内角都相等．若AB＝1，BC＝CD＝3，DE＝2，则这个六边形的周长等于_________．分析题目所给的图形很不“标准”，难以下手！考察题、图特征，就能想

13、到通过整体“补形”来完善原图，把条件“化分散为集中”，迅速找到解题方法．如图3(2)(3)(4)(5)，易得原六边形周长为15．点评“整体补形”，让题目呈现出“统一”、“对称”、“和谐”的特征