专题1.13《二次根式》经典例题思维点评-备战2018年中考数学一轮微专题突破（解析版）

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1、【备战2018年中考数学一轮微专题突破】专题13《二次根式》经典例题思维点评【专题综述】二次根式是以实数中所学内容为基础，对开平方、开立方等运算进行扩展，基本要求是知道二次根式的取值范围、掌握二次根式的求值，重点是掌握二次根式的混合运算，难点是通过一定的化简技巧使得计算简便．二次根式中，题目类型多变，方法多种多样，本专题的编排顺序是计算多重根式、分子分母有理化的运用以及换元法等．【方法解读】一、对于多重根式，其基本的解决方法有以下两种．首先是“凑”的技巧．如果最外面为开平方，凑出完全平方公式往往从数字“2”入手，没有2时，需要同乘以2或同除以2，其次是待定系数法，即：设＝，其中．例

2、1：计算：．【解读】多重根式是指根号中还套有根号的式子，其基本化简策略是从最里面的根号入手，逐步往外，化至完全平方公式．[来源:Zxxk.Com]【举一反三】计算：．【答案】【解析】对于1＋a2＋a4可因式分解为，本题的解答技巧是在因式分解后，发现a2需要有两部分才能满足里面的根式，故将a2＋1通过同乘、除2，及加、减a的技巧使之凑成完全平方形式．二、若一个分式的分子是由无理数组成的代数式，采用一些方法将其化为有理数的过程称为分子有理化；而分母有理化则是将分母中的根号去掉的过程．如果仅分子有根号，往往使用分子有理化；如果仅分母有根号，往往使用分母有理化；若分子、分母同时存在根号，关

3、键在于使用何种方法使题更容易化简．当然，无论何种方法，遇到－都要联想到与之联系的互为有理化因式的＋在这里，两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，则说这两个代数式互为有理化因式，如与、＋与－、a＋与a－等．例2：先化简，再求值：·，其中x＝－，y＝＋．解：【解读】分子分母都出现根号时可分为两种情况：一为分子有理化，二为分母有理化．本处选择分母有理化的原因在于前两项分母有理化后的结果都是－y2，可进行合并操作，而分子有理化则无法使之更简化．【举一反三】1.先化简，再求值：·，其中x＝．【答案】，【解析】解：因为x＝＝，所以1－x>0．点睛：本题的关键在于观察出题中存在

4、大量的、，经运算可化为（本形式比较特别，请注意），并以此为基础进行分母有理化．当然要使运算更简洁，也可采用令a＝，b＝的方式进行．2.设M＝，N＝，a>1，则试比较M、N的大小．【答案】M

5、化简：．证明：所以化简得4.【解读】本题采用先局部换元（将整个立方根设为m和n），再整体换元法（x＝m＋n）的方法通过方程来解x．同时x3－6x－40＝(x－4)(x2＋4x＋10)，因为x2＋4x＋10＝0无法在实数范围以内进行因式分解，故x＝4．【举一反三】已知m＝，求的值．【答案】8【解析】解：点睛：选择以m－3＝为整体换元是因为通过两边平方，能去掉根号使无理化为有理，并将m2－6m＋4＝0作为换元的基础．至于分子的化简则主要使用了待定系数法．【强化训练】1．已知，则的值为（　　）A.a2﹣2B.a2C.a2﹣4D.不确定【来源】云南省红河州个旧市北郊教育联合会2016-20

6、17学年八年级（下）期中数学试卷【答案】A【解析】∵∴()²=a²,即x+2+=a²∴x+=a²−2故选A.2．若a、b、c为有理数，且等式成立，则2a＋999b＋1001c的值是（）A.1999B.2000C.2001D.不能确定【来源】湖北省武汉初级中学2016-2017学年度下学期第一次月考八年级数学试卷【答案】B【解析】因=，所以a=0，b=1，c=1，即可得2a＋999b＋1001c=999+1001=2000，故选B.点睛：本题考查了二次根式的性质与化简，将复合二次根式根据完全平方公式化简并比较系数是解题的关键．3．设x、y是有理数，且x，y满足等式，求x－y的值．【来

7、源】广西钦州市钦州港经济技术开发区中学2016-2017学年八年级下学期期中考试数学试题【答案】9或－1【解析】x－y＝9或x－y＝－14．已知，都是有理数，并且满足，求的值．【来源】[中学联盟]江苏省启东市天汾初级中学2016-2017学年八年级寒假作业测试（开学考试）数学试题【答案】3【解析】试题分析：观察式子，需求出x，y的值，因此，将已知等式变形：(x2+2y−17)+(y+4)＝0，x，y都是有理数，可得，求解并使原式有意义即可．【点睛】此类问题求解，或是转