数学(导数解析)文库

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1、2，而kx,x>0您“V°成立.心KE,即成立.・・严匕(III)当兀>0时,g'O)二x2-l1、已知函数/⑴在R上冇定义，对任何实数。〉0和任何实数兀，都冇/（处）=妙（兀）（I）证明=[kx.x＞0,（II）证明『（兀）=〔加,xv°，其中比和力均为常数;g（x）=:+/（兀）（兀＞0）（III）当（II）中的“°时，设八兀丿，讨论丿在卩+°°丿内的单调性并求极值.证明（I）令兀=0,则/（0）=妙（o）,・・・G〉0,・・./（0）=0.(II)①令兀=4,・・・Q〉0,・••兀>0,则/(")=

2、灯(兀).假设沦0时，f(Q=kx(kwR),则/(”)=圧，而xf(x)=xkx=kx2f(x2)=xf{x)^即加=&成立②令x--ay・.・a〉0,兀v0,/(一兀)=~xf(兀)假设兀<0时，/(x)=hx(/7e/?),则/(』)=_/?+而—xf{x)=-x-hx=-hx2令g‘（兀）=0,得兀=]或兀=_1；当兀€（0,1）时，g©）vo,・・.g（x）是单调递减函数;当"[1,+oo）时，g'（兀）＞0,・・.g（x）是单调递增函数;所以当时，函数&（兀）在（°+°°）内取得极小值，极小值

3、为"一匚+"2、设函数/⑴"+用+曲兀旳，已知g（兀）=/"）-广⑷是奇函数.（I）求b、c的值.（II）求&（兀）的单调区间与极值.解析：（I）・"⑴"+圧+丫.•丿©）=3兀2+2加+C.从而g（x）=f{x）-fx）=x3+bx2+cx-（3x2+2bx+c）_x3+（b一3）x2+（c-2b）x一c是一个奇函数，所以g（°）=°得c=0,由奇函数定义得b=3；（II）由（I）知g⑴=戏一6无，从而gf（x）=3x2-6f由此可知，（-co,-a/2）和（血,乜）是函数gOO是单调递增区间；（-V

4、2,＞/2）是函数g（Q是单调递减区间；g（x）在x=-y/2W,取得极人值，极人值为4血，g（劝在"血时，取得极小值，极小值为一4血.3、已知/⑴是二次函数，不等式/⑴v°的解集是（°，”，且/⑴在区I'可［7勺上的最大值是12.（/）求『（兀）的解析式;（〃）是否存在实数％使得方程"Q+兀一。在区间（“加+1）内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出加的取值范伟I；若不存在，说明理由.解答本小题主要考查函数的单调性、极值等基木知识，考查运用导数研究函数的性质的方法，考查函数少方程、数形结合等数学思想方

5、法和分析问题、解决问题的能力.解:⑺•・・/（兀）是二次函数，且兀兀）＜°的解集是（°，5），・•・可设/（兀）=处（无一5）（。＞0）.••-念）在区间1绢上的最大值是n=弘a=2,由已知,得6d=12,・・./（兀）=2兀（兀一5）=2%2-10兀（兀丘/?）・心乙0..（〃）方程*等价于方程2兀_10厂+37=0.设h(x)=2x3-1Ox2+37,则h*(x)=6x2一20兀=2兀(3兀-10).'〒时，心）＜0/⑴是减函数;当"（3，+°°）时，W）〉0,/2（x）是增函数.•・・/?（3）=1

6、>0,/i（—）=-—<0,A（4）=5>0,327（3,12）,（12,4）...方程h（x）=0在区间‘3'3’内分别有惟一实数根，而在区间（0,3）,（4,+8）内没有实数根,所以存在惟-的口然数加=父使得方程'37x在区间（〃，加+1）内有且只有两个不同的实数根.24、已知函数/⑴=—x~+8兀,gCr）=6/gr+"7（I）求兀o在区间［H+1］上的最大值加/）；（II）是否存在实数加，使得円⑴的图象9v=g（x）的图象有「L只有三个不同的交点？若存在,求出加的取值范围；，若不存在，说明理由.解

7、答本小题主要考查两数的单调性、极值、最值等基本知识，考查运川导数研究函数性质的方法，考查运算能力，考査函数与方程、数形结合、分类与整合等数学思想方法和分析问题、解决问题的能力.解：(7)/(x)=_x2+8x=-(x-4)2+16.当r+1<4,即/v3时,/（兀）在A，r+1］上单调递增,h(t)=f(t+1)=-(t+1)2+8(r+1)=-r+6/+7;当rS4Sr+1,即3

8、40（兀）=gS）-/（%）的图象与X轴的正半轴有且只有三个不同的交点.t0（兀）=兀~一8兀+6In兀+加,...0G）=2兀_8+仝=力2_张+6=2（兀一1）（兀—3）（兀〉0）,X当%€（0,1）时•，0G）>O,0（X）是增函数;当xw（0,3）时,0〔x）vO,0（兀）是减函数;当xG（3,+00）时，0G）>O,0（