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1、矩阵分析作业问题1总结正交矩阵和酉矩阵的结构，并对每一种结构给出几个例子。1、正交矩阵在欧式空间屮，由标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵；反过来,如杲第一组基是标准止交基，同时过渡矩阵是正交矩阵，那么第二组基一定也是标准正交基.正交矩阵有以下几种等价定义：定义1A为〃阶实矩阵，若ArA=Ef则称A为止交矩阵.定义2A为〃阶实矩阵，若AAf=E｝则称A为正交矩阵.定义3A为〃阶实矩阵，若4=A'1,则称A为止交矩阵.定义4A为邪介实矩阵，若A的〃个行（列）向量是两两正交的单位向量，则称人为止交矩阵.正交矩阵蕴涵了正交变换.设A是欧氏空间V的一个线性变换，若A保持向量的内积不
2、变，即对于任意的a,卩wV都有（Act,Ap）二（a,卩），则称A为V的正交变换.正交变换关于标准正交基的矩阵称为正交矩阵.下而几个例子是正交矩阵：£321-33~5.353542、酉矩阵在矩阵理论中，经常利用矩阵来描述变换.在实空间中正交变换保持度量不变,而正交变换屮对应的变换矩阵就是正交矩阵，所以对正交矩阵的研究就显得格外重要.同样道理，想要得到复空间中保持度量不变的线性变换,就应该对正交变换进行推广，将其推广到复数域上,那对应的止交矩阵相应的也推广到复数域酉矩阵.与正交矩阵相平行的概念是酉矩阵.设t/=(Wij)nneMn(C),其屮Mn(C)表示复数域上的全体〃阶矩阵的集
3、合.记疗=亦)”“(亦是呦的共觇复数)，UH=Ur•定义1一个满足UUH=UHU=In的乃阶复矩阵C/叫做一个酉矩阵.定义2若料阶复方阵(/满足UhU=E则称U为酉矩阵.定义3若〃阶复方阵U满足UUH=E则称U为西矩阵.定义4若刃阶复方阵〃满足〃〃=U~{则称〃为酉矩阵.定义5若“阶复方阵〃的刃个行(列)向量是两两止交的单位向量，则称U为酉矩阵.下面儿个例子是酉矩阵：2=(qPq2)=f，V=(v1,v2,v3?v4)=i-ii-i「丿ii—itJ-1-1>问题2n阶的哈达马矩阵指的是带有元素+1、・1的〃Il阶矩阵，比如说：HHT=nIft,是H的转置矩阵，人是n阶单位矩阵。这
4、种矩阵在很多实际应用中都很有用。Q1任何阶数的哈达马矩阵都存在吗？请列出一个巾M20的哈达马矩阵，如果它存在的话。解：(1)并非任何阶数的hadamard矩阵都存在，当n=l,n=2和n为4的倍数时，hardamard矩阵存在。证明：•・•HHT=nl„・•.当n=l时，H{=(1);({1当n=2时,乞二=2且；VT丿当n>2时，n就是4的倍数，原因如下：设由于也町二心所以^(aiA+a2k)(aiA+a3k)”〃nn=工ak+Yaka2k+工aka3k+工吆徐=几k=k=k=k=然而，a[k+a2k的结果可能冇+2、0、・2、alk+a3k也一样。故X(aiA
5、+6Z2A)(aK+6Z3A)各项或为+4，或为・4,或为0,总和是R=14的倍数，所以n是4的倍数。当n=1,n=2和n为4的倍数时，hardamard矩阵存在。(2)列出一个n=12的Hadamard矩阵。»H二hadamard(12)H=1111111111111-11-1111-1-1-11-11-1-11-1111-1-1-1111-1-11-1111-1-1-11-11-1-11-1111-1-11-1-11-1-11-1111-11-1-1-11-1-11-111111-1-1-11-1-11-111111-1-1-11-1-11-111111-1-1-11-1-1
6、1-11-1111-1-1-11-1-1111-1111-1-1-11-1-1Q2设计两个阶数为n=2fn(m为常数)的哈达马矩阵H=[hbh2,-・・,仏]和G二际g2,•…,g“]如下:仇山2,•…,hn/l｝正交于｛gbg2f•…居山｝，且0S/2+1,加/2+犷.■,人丿正交于｛gn/2+bgn/2+2,''',gn｝-如果不是对每个常数n都成立，请给出在加=3,5,7时的例子。解：(1)显然，当n=l时，不成立。(2)考虑当21,月山=2〃时的情况：•・•一般地，2,n(m=1,2,•…)阶(正规)Hadamard矩阵为:H1>n(HLJ2^-12”tH-H2W-
7、'2心丿(m=1,2,…)，设H矩阵为正规的Hadamard矩阵与]hft}[-Hl2心J12小..伤1,力2,•••，九Z2丿刀^又J的每个列向量都是止交的•••设念l，g2，•…，gs}为日2宀-H2叶'依"Z2+1,g“Z2+2，*’gn})、)'伤"Z2+I,力n/2+2,°"■，力/?«/表刀^满足题目的条件(因为任意交换Hadamard矩阵的两行或者两列，仍然得Hadamard炬阵)。当m二3时，>>H=hadamard(8)1-1g8为H的前四列与后四列交换。当m
