浅谈伴随矩阵的性质及其应用【毕业论文+开题报告+文献综述】

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本科毕业论文开题报告数学与应用数学浅谈伴随矩阵的性质及其应用一、综述本课题国内外研究动态,说明选题的根据和意义矩阵是代数学的一个主要研究对象,是数学中最重要的基本概念之一,也是数学研究及应用的一个重要工具.矩阵这一概念自19世纪英国数学家凯利首先提出以后,就形成了矩阵代数这一系统理论,而且还广泛应用于实际生活.把现实世界中的实际问题抽象成数学模型,求出模型的解,验证模型的合理性后,用它的解来解释现实问题,这其中要用到许多的数学知识,而矩阵作为一种认识复杂问题的简捷的数学工具,在数学模型中具有重要的作用,如在各循环赛中常用的赛况表格、国民经济的数学问题等.矩阵可以分为很多类,有初等矩阵、分块矩阵、幂等矩阵、伴随矩阵等,在不同的矩阵类型中近几年来分别取得了不同的成果与进展.而伴随矩阵作为矩阵中较特殊的一类,其理论与应用有自身的特点,它是矩阵理论及线性代数中的一个基本概念,是许多数学分支研究的重要工具.在线性代数的解题方面,灵活地运用这些伴随矩阵的性质有效地解决了线性代数中的问题,且它有助于拓宽解决线性代数问题的思路.比如,矩阵间一些关系的证明,求矩阵的逆,一些复合矩阵的行列式等.运用伴随矩阵的性质还可以用来解决一些复杂的问题.比如,用伴随矩阵的性质:可以解决《美国数学月刊》上的E3227号问题(注:若和为阶矩阵,存在非零向量和向量,使得,.设为中第列被中的第列替换后所得到的矩阵,证明).现今不仅专业研究伴随矩阵的数学工作者愈加众多,而且量子力学、刚体力学、流体力学、自动控制等各个学科或尖端技术领域内的研究工作者也都以它为必需的工具.如蔡建乐提出了用特征矩阵的伴随矩阵求惯量主轴的代数方法,这有利于刚体力学的发展,体现伴随矩阵的物理意义.正因为它有如此重要的作用,古今中外对其研究颇多,并且得到了许多重要的成果.28 如杨闻起探讨了伴随矩阵在对称、反对称、正定、半正定、正交、相似和特征值等方面的性质;王航平也在伴随矩阵的定义与基本性质的基础上,探讨了伴随矩阵的运算性质,特别研究了乘积矩阵的伴随矩阵的性质,并提出了自伴随矩阵的定义及其性质,归纳了伴随矩阵较强的继承性;郑茂玉也提出了伴随矩阵与原矩阵之间的联系,探讨了伴随矩阵的性质,并且将伴随矩阵推广到了重;徐淳宁也探究了重伴随矩阵的定义及其性质,得到了一些有意义的结果,使伴随矩阵的内涵更加丰富.上述结论都是在为方阵的前提下提出来的,对于不为方阵的情况又有许多种性质.贾美娥提出了关于矩阵的伴随矩阵的定义与一些性质的证明.这一主张的提出,更加完善了伴随矩阵的性质.伴随矩阵的性质还有很多,在此不一一举例.尽管前人的研究很多,但是目前对伴随矩阵的性质还没有一套完整的证明.在《高等代数》和《线性代数》的各种教材中,伴随矩阵只是作为求解逆矩阵的工具出现的,并没有进行深入的研究.但是在后继的课程的学习中经常用伴随矩阵来解决很多问题,为此我们常常不知所措.为了解决更多的问题,有必要探讨它的性质及其一些应用.本文将对伴随矩阵的性质和应用进行探讨,这不仅有利于教师的教学,还有助于学生的学习,以便我们更得心应手地运用伴随矩阵的各种性质解决线性代数中的相关问题及拓宽它在各领域中的应用.二、研究的基本内容,拟解决的主要问题:研究的基本内容:本文主要研究伴随矩阵的性质及其各领域上的应用.拟解决的主要问题:证明伴随矩阵的性质和探究它的应用,并作推广.三、研究步骤、方法及措施:研究步骤:1.明确任务,查阅相关资料,做好笔记.2.在老师指导下,撰写开题报告,翻译英文资料,撰写文献综述.4.上交开题报告、文献综述、英文资料;确定整个论文的思路,列出论文提纲.5.确定论文提纲,撰写毕业论文.6.上交论文初稿.7.反复修改论文.8.论文定稿.方法、措施:通过到图书馆、上网等查阅收集资料,参考相关内容.在老师指导下,28 与同学研究讨论,用推理论证的方法来解决问题.四、参考文献:[1]R.A.Horn,C.R.Johnson.MatrixAnalysis[M].CambridgeUniversityPress,1986.[2]蔡建乐.用特征矩阵的伴随矩阵求解惯量主轴方向[J].大学物理,1995,14(9):21~22.[3]杨闻起.伴随矩阵的性质[J].宝鸡文理学院学报,2004,(3):20~25.[4]王航平.伴随矩阵的若干性质[J].中国计量学院学报,2004,15(3):247~249.[5]郑茂玉.伴随矩阵的性质[J].南方冶金学院学报,1991,12(3):55~60.[6]徐淳宁.关于伴随矩阵的推广[J].长春邮电学院学报,1997,15(4):63~64.[7]贾美娥.关于矩阵的伴随矩阵[J].赤峰学院学报,2009,25(9):16~17.[8]北京大学数学系几何与代数小组编.高等代数[M].北京:高等教育出版社,2003,9.[9]韩成茂.伴随矩阵性质研究[D].山东:山东大学,2008.[10]刘佑林.伴随矩阵若干性质[J].湘南学院学报,2009,30(5):31~32.[11]肖翔,许伯生.伴随矩阵的性质[J].上海工程技术大学教育研究,2007,(3):48~49.[12]吕兴汉.关于伴随矩阵性质的进一步讨论[J].2006,22:322~323.[13]C.M.Han.SomeoperationproperitiesofAdjointMatricesforBlockMatrices[J].JournalofMathematicsReseearch,2009,1(2):119~122.[14]苗宝军,赵艳敏.高等代数中伴随矩阵性质的研究及其应用[J].考试周刊,2009,31:61.28 毕业设计文献综述数学与应用数学浅谈伴随矩阵的性质及其应用高等代数是最具有生命力的数学分支之一,从它诞生起即日已成为人类认识并进而改造自然的有力工具,成为数学科学联系实际的主要途径之一.在长期不断的发展过程中,它一方面直接从与生产实践联系的其他科学技术中汲取活力,另一方面又不断地以全部数学科学的新旧成就来武装自己,所以它的问题和方法越来越显得丰富多彩[1].线性代数是高等代数的重要组成部分,是讨论矩阵理论、与矩阵结合的有限维向量空间及其线性变换理论的一门学科.它在数学、力学、物理学和技术学科中有各种重要应用,因而它在各种代数分支中占居首要地位.在计算机广泛应用的今天,计算机图形学、计算机辅助设计、密码学、虚拟现实等技术无不以线性代数为其理论和算法基础的一部分.随着科学的发展，我们不仅要研究单个变量之间的关系,还要进一步研究多个变量之间的关系,各种实际问题在大多数情况下可以线性化,而由于计算机的发展,线性化了的问题又可以计算出来,线性代数正是解决这些问题的有力工具[2].矩阵,是代数学的一个主要研究对象,是数学中最重要的基本概念之一,也是数学研究及应用的一个重要工具.矩阵这一具体概念是由19世纪英国数学家凯利首先提出的,并形成了矩阵代数这一系统理论.在实际生活中,很多问题可以借用矩阵抽象出来进行表述并进行运算,如在各循环赛中常用的赛况表格、国民经济的数学问题等[2-3].数学上,一个矩阵乃一行列的矩形阵列.矩阵由数组成,或更一般的有某环中元素组成,矩阵常见于线性代数、线性规划、统计分析、解析几何,以及组合数学等.矩阵在微积分、图论、对策、数据拟合等模型中也有着非常广泛的应用.如数学建模是把现实世界中的实际问题抽象成数学模型，求出模型的解，验证模型的合理性后，用它的解来解释现实问题，这其中要用到许多的数学知识,而矩阵作为一种认识复杂问题的简捷的数学工具，在数学模型中具有重要的作用,从数学规划模型和线性代数模型中分析矩阵应用,通过分析来提高数学建模的技巧,可以使数学建模更好地服务于各个领域[4].又如在图论中应用于顶点覆盖问题、最短路径问题、哈密顿回路问题和最大团问题等[2].矩阵可以分为很多类,有初等矩阵、分块矩阵[5]、幂等矩阵[7]、Hankel矩阵[8]等等,28 近几年来,在不同的矩阵类型中分别取得了不同的成果与进展.矩阵的初等变换和初等矩阵有着紧密的联系.对于有些命题的证明,若用矩阵的初等变换则较烦琐,而改用初等矩阵就能简化证明过程,并且一目了然.分块矩阵是线性代数中的一个很重要的工具,研究许多问题都要用到它,特别是在处理级数较高的矩阵时,分块之后,使各矩阵之间或矩阵内部之间的关系变得更清楚.通过分块矩阵在计算行列式、证明相关矩阵秩的不等式以及求矩阵的逆等三方面的应用研究,每个部分都给出了一些实用性较强的定理和经典例题,通过这些具体实例的应用可以看出分块矩阵在处理相关问题上的简便性和灵活性.幂等矩阵是一类重要而又常见的矩阵类型,通过研究其性质和应用,可优化解题和证明问题的过程,使思维更简洁.Hankel矩阵、Bezout矩阵等特殊矩阵在数字信息处理、数值计算、系统理论和自动控制理论中都有广泛的应用.利用矩阵与其中多项式的第一友阵适于的缠绕关系,以及和的变量变换关系给出了Hankel矩阵所满足的几种新型合同关系、缠绕关系;利用Bezout矩阵的Barnett分解以及中的零点与其第一友阵特征值的一致性,给出了利用Hankel矩阵的非奇异性判定多项式对互素的新方法.对各种类型的矩阵的研究还有很多.接下来重点介绍下近几年来伴随矩阵研究中所取得的研究成果.文献[9]中,杨闻起探讨了伴随矩阵在对称、反对称、正定、半正定、正交、相似和特征值等方面的性质;文献[10]中,王航平也在伴随矩阵的定义与基本性质的基础上,探讨了伴随矩阵的运算性质,特别研究了乘积矩阵的伴随矩阵的性质,并提出了自伴随矩阵的定义及其性质,归纳了伴随矩阵较强的继承性;郑茂玉在文献[11]中提出了伴随矩阵与原矩阵之间的联系,探讨了伴随矩阵的性质,并且将伴随矩阵推广到了重;文献[12]中,徐淳宁也探究了重伴随矩阵的定义及其性质,得到了一些有意义的结果.贾美娥在文献[13]中定义了矩阵的伴随矩阵,并初步探讨了它的一些性质,使伴随矩阵的性质更具科学性、全面性.其他的文献中探讨伴随矩阵的性质还有很多,在此不一一举例.伴随矩阵作为矩阵中较特殊的一类,其理论与应用有自身的特点,它是矩阵理论及线性代数中的一个基本概念,是许多数学分支研究的重要工具.在线性代数的解题方面,灵活地运用这些伴随矩阵的性质有助于拓宽解决线性代数问题的思路.比如,矩阵间一些关系的证明,求矩阵的逆,一些复合矩阵的行列式等.运用伴随矩阵的性质还可以用来解决一些复杂的问题,比如,用伴随矩阵的性质:28 可以解决《美国数学月刊》上的E3227号问题[18].现今不仅专业研究伴随矩阵的数学工作者愈加众多,而且量子力学、刚体力学、流体力学、自动控制等各个学科或尖端技术领域内的研究工作者也都以它为必需的工具了.如蔡建乐提出了用特征矩阵的伴随矩阵求惯量主轴的代数方法[19],这有利于刚体力学的发展,更体现伴随矩阵的物理意义.在《高等代数》和《线性代数》的各种教材中,伴随矩阵只是作为求解逆矩阵的工具出现的,并没有进行深入的研究.所以对伴随矩阵的研究是十分必要的,本课题将进一步探讨伴随矩阵的性质和应用,特别在一些特殊矩阵的基础上,以便进一步发掘伴随矩阵的作用.参考文献[1]杨子胥.高等代数习题集[M].济南:山东科学技术出版社,1982.[2]北京大学数学系几何与代数小组编.高等代数[M].北京:高等教育出版社,2003.9.[3]R.A.Horn,C.R.Johnson.MatrixAnalysis[M].CambridgeUniversityPress,1986.[4]许维珍.数学模型中矩阵的应用[J].湖南农业大学学报,2008,9(5):84~86.[5]徐天保.分块矩阵的应用[J].安庆师范学院学报,2010,16(2):106~108[6]C.M.Han.SomeoperationproperitiesofAdjointMatricesforBlockMatrices[J].JournalofMathematicsReseearch,2009,1(2):119~122.[7]徐宏武.幂等矩阵的性质及应用[J].宜春学院学报,2004,26(6):22.[8]谭瑞梅等.Hankel矩阵的性质及其应用[J].郑州轻工业学院学报,2005,20(4):97~99.[9]杨闻起.伴随矩阵的性质[J].宝鸡文理学院学报,2003,23(1):20~21.[10]王航平.伴随矩阵的若干性质[J].中国计量学院学报,2004,15(3):247~249.[11]郑茂玉.伴随矩阵的性质[J].南方冶金学院学报,1991,12(3):55~60.[12]徐淳宁.关于伴随矩阵的推广[J].长春邮电学院学报,1997,15(4):63~64.[13]贾美娥.关于矩阵的伴随矩阵[J].赤峰学院学报,2009,25(9):16~17[14]韩成茂.伴随矩阵性质研究[D].山东:山东大学,2008.[15]吕兴汉.关于伴随矩阵性质的进一步讨论[J].2006,22:322~323.[16]刘佑林.伴随矩阵若干性质[J].湘南学院学报,2009,30(5):31~32.[17]肖翔,许伯生.伴随矩阵的性质[J].上海工程技术大学教育研究,2007,(3):48~49.[18]张明善.伴随矩阵的一个应用[J].西南民族学院学报.自然科学版,1996,22(1):123.[19]蔡建乐.用特征矩阵的伴随矩阵求解惯量主轴方向[J].大学物理,1995,14(9):21~22.[20]苗宝军,赵艳敏.高等代数中伴随矩阵性质的研究及其应用[J].考试周刊,2009,31:61.28 本科毕业论文（20届）浅谈伴随矩阵的性质及其应用专业：数学与应用数学28 摘要伴随矩阵是矩阵理论及线性代数中的一个基本概念,是许多数学分支研究的重要工具.伴随矩阵作为矩阵中较为特殊的一类,它的性质理论与应用有其自身的特点.而在高等代数和线性代数的学习中,伴随矩阵只是作为求解逆矩阵的工具出现,并没有深入的研究.本课题首先根据伴随矩阵的基本性质,系统地讨论了伴随矩阵的运算性质、在特征值和特征向量方面的性质及伴随矩阵对原矩阵性质的继承性,然后对某些特殊矩阵的伴随矩阵的性质进行了研究,并将伴随矩阵作了两方面的推广,最后探讨了其在线性代数解题中的应用.既拓宽了解决线性代数问题的思路,又有助于伴随矩阵成为其他学科或尖端技术领域中的重要工具.关键词:伴随矩阵;特殊矩阵;推广;性质;应用28 DiscussiononPropertiesandApplicationsofAdjointMatrixAbstractAdjointmatrixisabasicconceptinthematrixtheoryandlinearalgebra,anditisanimportanttooltostudymanybranchofmathematics.Asaspecialmatrix,thetheoryandtheapplicationofadjointmatrixhaveitsowncharacter.DuringAdvancedAlgebraandLinearAlgebralearning,adjointmatrixisonlyatooltocalculateinversematrix.Itisnotstudiedindepth.Inthispaper,manypropertiesofadjointmatrixarefirstlydiscussedindetail:thepropertiesofoperation,thepropertiesaboutcharacteristicvalueandcharacteristicvector,andtheinheritedpropertiesofadjointmatrixfromtheoriginalmatrix.Thenwestudythepropertiesaboutadjointmatricesofsomespecialmatrices,andpromotetheadjointmatrixwithtwoways.Finally,wediscussitsapplicationsofsolvingproblemsinLinearAlgebra.ItnotonlycanbroadentheideaofsolvingtheprobleminLinearAlgebra,butalsocanhelptheadjointmatrixtobeanimportanttoolinothersubjectsorfieldofcutting-edgetechnology.Keywords:Adjointmatrix;Specialmatrix;Promotion;Properties;Application28 主要符号表符号含义矩阵的行列式单位矩阵阶单位矩阵矩阵的秩矩阵的伴随矩阵矩阵的逆矩阵的转置阶矩阵整数集28 目录摘要IABSTRACTII主要符号表III1前言12伴随矩阵的定义与性质22.1伴随矩阵的定义22.2伴随矩阵的基本性质22.3伴随矩阵的运算性质52.4伴随矩阵的继承性112.5伴随矩阵在特征值与特征向量方面的性质143特殊矩阵的伴随矩阵的性质174伴随矩阵的推广194.1重伴随矩阵的定义与性质194.2矩阵的伴随矩阵的定义与性质245伴随矩阵的应用256小结28参考文献29致谢3028 1前言矩阵的伴随矩阵是矩阵理论及线性代数中的一个基本概念,灵活地运用伴随矩阵的性质可以解决线性代数中的许多问题,比如,矩阵间一些关系的证明,求矩阵的逆,一些复合矩阵的行列式等.它既是许多数学分支研究的重要工具,又是其他学科或尖端领域内研究的必要工具,如量子力学、刚体力学、流体力学、自动控制论等领域.因此它既拓宽解决线性代数问题的思路,又有助于其他领域更好的发展.[1-2]古今中外对伴随矩阵的研究很多,并且已得到了许多重要的成果.如杨闻起在文献[3]中,探讨了伴随矩阵在对称、反对称、正定、半正定、正交、相似和特征值等方面的性质;文献[4]中,王航平也在伴随矩阵的定义与基本性质的基础上,探讨了伴随矩阵的运算性质,特别研究了乘积矩阵的伴随矩阵的性质,并提出了自伴随矩阵的定义及其性质,归纳了伴随矩阵较强的继承性;郑茂玉在文献[5]中提出了伴随矩阵与原矩阵之间的联系,探讨了伴随矩阵的性质,并且将伴随矩阵推广到了重;文献[6]中,徐淳宁也探究了重伴随矩阵的定义及其性质,得到了一些有意义的结果.贾美娥在文献[7]中定义了矩阵的伴随矩阵,并初步探讨了它的一些性质.其他的文献中探讨伴随矩阵的性质还有很多,不胜枚举.尽管对伴随矩阵的研究已经很多,但是目前对伴随矩阵的性质研究还不是很完善.至今为止,在《高等代数》和《线性代数》的各种教材中,伴随矩阵只是作为求解逆矩阵的工具出现的[8],并没有进行深入的研究.基于伴随矩阵性质的重要性,本课题在伴随矩阵的定义和基本性质的基础上,详细归纳讨论了伴随矩阵的运算性质、在特征值和特征向量方面的性质及伴随矩阵在等价、相似、合同、对称、正交、正定等性质方面对原矩阵的继承性;并且探讨了如上（下）三角矩阵、自伴随矩阵、对角矩阵、幂等矩阵[9]等一些特殊矩阵的伴随矩阵的性质;并给出详细的证明;然后将伴随矩阵作了两方面的推广,给出了重矩阵伴随矩阵的定义及其相关的性质和矩阵的伴随矩阵的定义及其若干性质,使伴随矩阵的性质更具有科学性,系统性.最后探讨了其在线性代数解题中的应用.伴随矩阵在线性代数解题中及其各领域中的应用丰富多彩,因此掌握了伴随矩阵的性质不仅有利于教师的教学,也有利于学生的学习.28 2伴随矩阵的定义与性质2.1伴随矩阵的定义定义2.1[8]在行列式中划去元素所在的第行与第列,剩下的个元素按原来的排法构成一个级的行列式称为元素的余子式,记为,则称为的代数余子式.定义2.2称由方阵中各个元素的代数余子式构成的矩阵为伴随矩阵,记为,即.注这里定义的只有方阵才有伴随矩阵.2.2伴随矩阵的基本性质性质2.1若是矩阵的伴随矩阵,则,且当可逆时,有或.证明设,则有,的行列式为,因为,28 所以.同理,有.所以.当可逆时,即,由于,方程两边同时左乘得,所以,继而可得.性质2.2[9]设是阶方阵,则等式成立.证明（1）若,下面分两种情况讨论若,则.从而,所以等式成立.若,下面用反证法证明若,则可逆.由此得.由性质2.1,得,这与矛盾,故.所以等式成立.（2）若,由性质2.1有.方程两边取行列式且根据对角阵行列式的性质,得,故有.性质2.3[10]若是阶方阵,则（1）的充要条件是;28 （2）的充要条件是;（3）的充要条件是.证明（1）充分性由于,则.由性质2.2得,所以可逆,因此有.必要性用反证法证明若,由性质2.1得.又因为,则可逆.将两边同时右乘,有,即得,所以,这与矛盾,所以,即.（2）充分性若,则矩阵的所有的阶子式全为零,而矩阵的阶子式全为零当且仅当的每个元素全为零,所以,故.必要性由于,那么,所以矩阵的阶子式全为零,因此.（3）充分性因为,所以矩阵有一个阶子式不等于零,根据伴随矩阵的定义,那么至少有一个元素不等于零,所以有.另一方面,若、均为阶方阵,当时,则.事实上,因为,所以,那么有.因为,所以又得到,从而有.必要性由于,则至少有一个元素不等于零,所以至少有一个阶子式不等于零,所以.另外,若,则,这与矛盾,所以.因此.说明以上性质是伴随矩阵性质研究的基础,其他性质的研究主要是围绕它们展开的.2.3伴随矩阵的运算性质一、乘积矩阵的伴随矩阵的运算性质性质2.4[4]若为可逆方阵,为非零常数,则.28 证明由可逆矩阵的性质得,又由性质2.1得,所以.性质2.5若、为阶可逆方阵,则.证明因为、均为可逆阵,所以由性质2.1和可逆阵性质得.说明事实上,当或不可逆和、都不可逆时结论都成立.推论2.1若均为阶方阵,则方阵乘积的伴随矩阵等于每个方阵的伴随矩阵的倒序乘积,即.二、分块矩阵的伴随矩阵的运算性质性质2.6设有阶可逆阵、及分块矩阵,则有.证明因为与为阶可逆阵,所以矩阵可逆且,又可知,由于,,故有.推论2.2设有阶可逆方阵及分块矩阵,则有.根据性质2.6,同理可得28 性质2.7若与为阶可逆阵,,那么.推论2.3设有阶可逆方阵为及分块矩阵,则有.三、转置矩阵的伴随矩阵的运算性质性质2.8若为阶方阵,则有.证明设,则的第行第列的元素为,那么的第行第列的元素为.而的第行第列的元素为,的第行第列的元素为.所以容易得到.特别地,当时,还有下面的证明方法.证明当时,,由性质2.2得.又由性质2.1可知,,而,所以.推论2.4设、为阶方阵,则有.证明由可知.推论2.5设为阶方阵,则有.证明用数学归纳法当时,已由性质2.8得证.28 假设当时,有成立,那么当时,有,所以结论成立.特别地,分块矩阵的转置矩阵的伴随矩阵也具有同样的运算性质,详见推论2.6和推论2.7.推论2.6设有阶可逆方阵及分块矩阵,则有.证明由为阶方阵,所以可逆且,由对角阵的行列式的性质,得.又根据性质2.1,得到28 .所以有成立.推论2.7设有阶可逆方阵及分块矩阵,则有.四、矩阵逆的伴随矩阵的运算矩阵性质2.9若为阶可逆矩阵,则有.证明根据性质2.1有,又因为,所以.注分块矩阵的逆矩阵的伴随矩阵也具有同样的运算性质,详见推论2.8和推论2.9.推论2.8设有阶可逆矩阵及分块矩阵,则28 有.证明由,可知.推论2.9设有阶可逆矩阵及分块矩阵,则有.性质2.10若是阶可逆方阵,则.28 证明因为,所以.由性质2.1有,又由性质2.8有,所以结论成立.推论2.10设有阶可逆矩阵及分块矩阵,则有.推论2.11设有阶可逆矩阵及分块矩阵,则有.2.4伴随矩阵的继承性性质2.11[4]若阶方阵等价于,则等价于.28 证明由于等价于,则存在可逆矩阵,,使得.两边同时取伴随矩阵可得,那么有,又因为矩阵,可逆,所以,也可逆,因此由矩阵等价的定义可知,也等价于.性质2.12若阶可逆矩阵与合同,那么与也合同.证明因为与合同,所以存在可逆矩阵,使得,又因为与可逆,将上式两边同时取逆得,即.令,则,故.又由两边取行列式得,所以,即.令,则有,所以与也合同.性质2.13[11]若阶方阵与相似,那么与也相似.证明因为与相似,所以存在可逆矩阵,使得.在上式两边同时取伴随矩阵,根据推论2.1得,又由性质2.9得.令,则有,所以与也相似.性质2.14若矩阵与可交换,那么与也可交换.证明因为与可交换,所以有,又因为,所以与也可交换.性质2.15若阶方阵可逆,则也可逆;若不可逆,则也不可逆.证明若可逆,即,由性质2.2得,所以也可逆.若不可逆,即,同理由性质2.2得,所以也不可逆.性质2.16若矩阵对称,则也对称.证明因为为对称,所以,即中的每个元素,继而有.所以,即也对称.28 性质2.17若为阶可逆反对称阵,则当且仅当为偶数时也为反对称阵.证明因为为阶可逆反对称阵,所以,又由性质2.9,得,当为奇数时,有,即,也是阶对称矩阵;当是偶数时,有,即,所以也是阶反对称矩阵.性质2.18[12]若矩阵可逆且可对角化,则也可对角化.证明因为可逆且可对角化,所以也可对角化,因此存在可逆阵,使得.其中是的所有特征值,且由于可逆可知,所以,所以可对角化.性质2.19若为正交矩阵,则也为正交矩阵.证明因为为正交矩阵,所以,又根据性质2.9和性质2.5有,所以也为正交矩阵.性质2.20若是阶正定矩阵,则也是正定矩阵.证明由于为正定矩阵,则,又由性质2.17可知为对称矩阵,且存在可逆阵,使得,等式两边同时取逆,有,又由,有28 .又由性质2.1得到,即有.所以合同于单位矩阵,即是正定矩阵.性质2.21若是阶半正定矩阵,则也是阶半正定矩阵.证明设为半正定矩阵,则为对称矩阵,下面分三种情况（1）若,则为正定矩阵,由性质2.20可知是正定矩阵;（2）若,则,显然是半正定矩阵;（3）若,根据性质2.3,则.由于为半正定矩阵,所以的一阶主子式必大于或等于0,且至少有一个大于0,我们不妨设,令,则可逆,且有,所以是半正定矩阵.2.5伴随矩阵在特征值与特征向量方面的性质性质2.22设是阶可逆矩阵的一个特征值,是的属于的特征向量,则为的一个特征值,且是的属于特征值的特征向量.证明由是可逆阵得,那么,在两边同时左乘,可得,即,又由性质2.1得,即有.28 所以是的特征值,是的属于特征值的特征向量.性质2.23设是阶可逆阵的所有非零特征值,则是的所有的特征值.证明由已知得,等式两边同时左乘,得.由性质2.1得.所以有.故此是的所有的特征值.性质2.24[3]设矩阵的所有特征值为,则,,,是的特征值.证明（1）当为可逆阵时,即,则全不为零,,且,于是,所以由矩阵特征值的定义可知是的特征值,即,,,是的特征值.（2）当不可逆时,即.若时,则是的一重特征值,取,则全不为,因此下面只需要证明与是的特征值.由可知,,于是是的至少重特征值,设的另一个特征值为,则,28 即与是的特征值.若时,则,故的特征值全部为,因为,所以至少是的二重特征值,即中至少有两个是,所以,,,必全部为,即,,,是的特征值.28 3特殊矩阵的伴随矩阵的性质定义3.1[4]若,则称为自伴随矩阵.定义3.2[13]若,则称为幂等矩阵.定义3.3若,则称为幂幺矩阵.定义3.4若,则称为幂零矩阵.定义3.5若,则称为正规矩阵.性质3.1（1）若为自伴随矩阵,则也为自伴随矩阵;（2）若为自伴随矩阵,则也为自伴随矩阵.证明（1）根据性质2.9有,又因为为自伴随矩阵,所以.因此有,根据自伴随矩阵的定义,得也是自伴随矩阵.（2）根据性质2.8有,又因为为自伴随矩阵,所以.因此有,根据自伴随矩阵的定义,得也是自伴随矩阵.性质3.2若是幂等矩阵,那么也是幂等矩阵.证明由是幂等矩阵,即,则有,由推论2.1可以得到,所以,即也是幂等矩阵.性质3.3若是幂零矩阵,那么也是幂零矩阵.证明因为是幂零矩阵,即,所以有,所以也是幂零矩阵.性质3.4若是幂幺矩阵,那么当时,也是幂幺矩阵.证明若是幂幺矩阵,即,则,28 即也是幂幺矩阵.特别地,当时,有,此时被称为对合矩阵,那么根据性质3.4可得也是对合矩阵.性质3.5若是正规矩阵,则也是正规矩阵.证明设是正规矩阵,则有,又根据性质2.5得到,,所以也是正规矩阵.性质3.6若是下（上）三角矩阵,则也是下（上）三角矩阵.证明设是下三角矩阵,则当时,有.当时,的余子式为阶的三角行列式,且主对角线上的元素至少有一个为零,所以,即有,所以也是下三角矩阵.同理可证,若是上三角矩阵,则那么也是上三角矩阵.性质3.7整数矩阵的伴随矩阵也是整数矩阵.证明由伴随矩阵的定义和行列式的性质即可得证.28 4伴随矩阵的推广4.1重伴随矩阵的定义与性质一、重伴随矩阵的定义定义4.1若为阶方阵,则为的重伴随矩阵,记作,.定理4.1设为阶可逆方阵,则.证明用数学归纳法证明.下面只给出当,时的证明.10当,有,将的二次伴随矩阵记作,由于,则,即有,所以等式成立.20假设时,等式成立,即.30那么当时,,所以等式成立.综上所述,当,,有.28 同理可证,当,,有.定理4.2若为阶不可逆方阵,当时,.证明因为为不可逆方阵,由性质2.3可得,所以,进而可得,所以,故当时,.二、重伴随矩阵的性质性质4.1设为阶方阵,则（1）当时,（2）当时,证明（1）当时,设,则,,照以上方法得.因此（2）当时,由性质2.3知,所以照以上方法得28 结论得证.性质4.2设为阶方阵,则.证明（1）若,由性质4.1知,当时,,则有.（2）若,则即当时,有.性质4.3设为阶可逆方阵,则.证明（1）当时,,等式成立.(2)当时,.(3)当时,.综上所述,当时,有.又由性质4.1知,,所以性质得证.性质4.4设为阶方阵,则.证明由数学归纳法和性质2.8即可证得.28 注当时,当且仅当可逆时才有这个结论.上述是重伴随矩阵的基本性质与运算性质,下面来探讨其较强的继承性.性质4.5若是幂等阵,则也是幂等阵.证明因为是幂等阵,则有,所以或.若,由性质4.1知,,则.若,可逆,则,即,所以,结论得证.性质4.6若方阵是正定的,则也是正定的;反之若是正定的,为偶数,且可逆,则也是正定的.证明（1）若是正定的,则,且,所以有.因为,又由,正定,,得正定.同理可证,正定,以此类推,正定.（2）反之,若正定,有正定.因为,当为偶数时,有为奇数,则.由性质4.2知,当时,,正定,所以为正定阵.同理可证,当时,也是正定阵.由（1）（2）可得性质得证.性质4.7若是正交阵,则是正交阵;反之也成立.证明（1）因为是正交阵,所以,且或.当时,由性质4.5得,.又根据性质4.3可得28 ,综上所述可得当时,,有,即为正交阵.若,当时,,又由于,,所以.同理可证,当时,有.所以,,,有,即为正交阵.综上所述,若是正交阵,则是正交阵.（2）反之,若,且或,则由性质2.1知或.又由性质4.5知,当时,,得,由可得,即.同理可证,当时,.综上所述,当时,有.由（1）（2）可得性质成立.性质4.8若阶方阵是幂零矩阵,则也是幂零矩阵.证明因为是幂零矩阵,所以有,那么或.(1）若,则.(2）若,由性质4.1知,28 当时,,则.当时,,由.所以,当,有.性质4.9若是对称阵,则也是对称阵;反之是对称阵,且是可逆的,则是对称阵.证明根据性质2.1及定理4.1即可证得.性质4.10若是反对称阵,则当为奇数时,为对称阵;当为偶数时,为反对称阵.证明同样根据性质2.1及定理4.1即可证得.4.2矩阵的伴随矩阵的定义与性质一、矩阵的伴随矩阵的定义定义4.2[15]设,则称是的伴随矩阵,其中是行列式的的代数余子行（列）式.二、矩阵的伴随矩阵的性质性质4.11设是矩阵,则有证明当时,由可得.当时,同样的有28 由此可得.性质4.12设为矩阵,则有.证明设,那么,又根据伴随矩阵的定义有,且,而,所以.性质4.13对任意的矩阵都有,其中.根据可逆矩阵的性质及性质4.11即可得证.性质4.14若是矩阵,且,则是满秩的.证明设是矩阵,不妨令,因为等于的所有阶子式的和,又由于,所以至少有一个不为零的阶子式,又由于是矩阵,所以.由性质4.11,得,而是矩阵,所以是可逆的.注条件不可换成是满秩,这点与方阵不同.28 5伴随矩阵的应用例5.1设,,求.解由可得,于是有,则有,于是得到,的伴随矩阵为,所以根据性质2.1有.例5.2设4阶方阵满足条件,及,求的伴随矩阵的一个特征值.分析根据性质2.22,当是可逆矩阵的一个特征值时,伴随矩阵的一个特征值为28 .可见本题关键是要求出的一个特征值与.解设,即有.所以为的一个特征值.由,两边取行列式得.因,所以所以由性质2.22得,的一个特征值为.例5.3[15]试求出满足的一切阶方阵.分析此题主要是运用性质2.3进行分类讨论.解若时,,当然有.若时,则,即,此时.若,则.当时,显然.当时,设,则,不可能有.因为假设,则有,且.于是,这与矛盾.故此.若,则,于是由性质2.1得,当且仅当.综上可得,满足的方阵是:零方阵及适合的可逆方阵.例5.4设、、均为3阶可逆矩阵,且,,,,,,求.分析本题只要运用分块矩阵的伴随矩阵的运算性质就能轻而易举地得到结果.解根据推论2.3得28 所以例5.5若,求.分析此题看似较为复杂,但是根据性质4.2,此题就迎刃而解.解由已知易得,根据性质4.2,即有.28 6小结伴随矩阵是矩阵理论及线性代数中的一个基本概念,它具有不容忽视的重要地位.其性质的内容丰富多彩,应用也相当广泛.伴随矩阵的推广更使伴随矩阵如虎添翼.基于伴随矩阵性质的重要性,本课题先在伴随矩阵的定义和基本性质的基础上,详细归纳讨论了伴随矩阵的运算性质、在特征值和特征向量方面的性质及伴随矩阵在等价、相似、合同、对称、正交、正定等性质方面对原矩阵的继承性;然后探讨了如上（下）三角矩阵、自伴随矩阵、对角矩阵、幂等矩阵等一些特殊矩阵的伴随矩阵的性质并给出详细的证明,并将伴随矩阵作了两方面的推广,给出了重伴随矩阵的定义及其相关的性质和矩阵的伴随矩阵的定义及其若干性质,使伴随矩阵的性质更具有科学性、系统性.最后通过举例说明了伴随矩阵的性质在线性代数解题中的重要应用.由于本人能力有限,在作本课题时还存在很多不足,比如,所举的例子不够全面,不能体现它在其他领域中的重要性.希望在以后的学习中在这方面能有所突破.28 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