对称矩阵的性质及其应用【开题报告+文献综述+毕业论文】

《对称矩阵的性质及其应用【开题报告+文献综述+毕业论文】》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。

毕业论文开题报告数学与应用数学对称矩阵的性质及其应用一、选题的意义矩阵理论是高等代数中的核心内容,矩阵理论中的许多思想和方法极大地丰富了数学的代数理论。对称矩阵是矩阵中一类重要特殊矩阵。实对称矩阵在数学分析多元函数研究，解析几何中二次曲线、二次曲面分类及性质的研究，数学规划问题，微分方程组的求解都以对称矩阵为基础。对称矩阵在高等代数的学习中也是一个基本的工具。二次型的研究，欧氏空间的研究都以对称矩阵为基础。对于对称矩阵这个应用广泛的基本矩阵，掌握它的性质以及基本应用能帮助我们更好得学习其他相关内容。本课题的研究通过对对称矩阵的概念以及性质的引入，根据性质研究其在多方面的运用。使得在今后的学习中，在解决对称矩阵的相关问题上我们能够灵活变通。对称矩阵的性质及其应用是矩阵理论的重要组成部分，它在高等代数和其他科技领域中占有重要的位置。同时，它又贯穿了高等代数的许多重要方面。对此课题的研究加深了我们对高等代数各个部分的认识，从而使我们更深刻地了解高等代数的相关理论。本人选取对称矩阵的性质及其应用作为毕业论文写作课题。二、研究的主要内容，拟解决的主要问题（阐述的主要观点）拟研究的主要内容是对于与对称矩阵的基本性质，及其应用。拟解决的主要问题：（一）由矩阵的概念出发，对对称矩阵作一个简单的介绍，让人们了解对称矩阵的概念。（二）介绍对称矩阵的一些性质，并举例加以说明应用。三、研究（工作）步骤、方法及措施（思路）步骤：1．确定论文的题目，研究方向；（2011年1月20日-2月21）23 2．上网查阅、收集相关的文献资料及准备二篇外文翻译；（2011年2月22日-3月6日）3．阅读并整理收集相关文献资料，撰写开题报告及文献综述；（2011年3月7日-3月17日）4．完成外文翻译初定论文初稿；（2011年3月18日-4月8日）5．论文的修改；（2011年4月9日-4月21日）6．论文的定稿；（2011年4月22日-4月28日）方法：1.文献资料法：利用网络、书籍，杂志等渠道收集与对称矩阵的一些性质相关的信息资料,然后对资料加以整理分类，筛选出有用的信息。运用已学的分析方法，对筛选出来的资料加以终结、归纳，为写正文作准备。2．例证说明法：运用典型例子说明中对称矩阵的一些性质，将问题说得更具体明白，易于理解。措施：查阅与论题有关的书籍；再则查找相关网页，积累资料。从中心论点出发决定材料的取舍。了解关键论点思想和国内外对有关该课题学术研究的最新动态以及研究中存在的还有待于研究的其他问题。最后综合运用各方面资料完成本论文。四、毕业论文（设计）提纲1.对称矩阵矩阵的概念，以及相关性质①　对称矩阵的概念、基本性质②　关于实对称矩阵的概念和性质③　关于二次型矩阵的相关概念和基本性质④　K次对称矩阵的概念和基本性质2.对称矩阵的相关应用关于实对称矩阵的性质的应用关于二次型矩阵的性质的应用K次对称矩阵的性质的应用23 五、主要参考文献[1]王萼芳,石生明.高等代数.[M].北京:高等教育出版社,2003.9:162-397.[2]王品超.高等代数新方法.[M].河南:山东教育出版社,1989:117-384.[3]史秀英.对称矩阵的分解及其应用[J].内蒙古民族师院学报,1999,14(2):188-189.[4]宋国乡,冯象初.对称矩阵的一种特殊分解[J].工程数学学报,1990,7(3):122-126.[5]付立志.对称矩阵对角化的相似模型[J].河南科学，2005,23(4):476-478.[6]恽鹏伟.关于对称矩阵合同变换的进一步思考[J].吉林广播电视大学学报,2001,(4):22-25.[7]姜景连.关于《高等代数》中的对阵矩阵[J].南平师专学报，2005,24(2):4-6.[8]张厚超,李瑞娟.关于Hermite矩阵正定性性判定的等价条件及证明[J].河南教育学院报,2009,18(1):7-8.[9]刘玉,蔡乌芳,郑礼哲.K—次对称矩阵及其性质[J].南通大学学报,2010,9(2):84-89.[10]张诚一.n元二次式极值的矩阵求法[J].南都学坛,1994,14:46-49.[11]彭文华.对称矩阵的两特征值问题[J].大学数学,2004,20(3):19-20.23 毕业论文文献综述数学与应用数学对称矩阵性质及其应用一、对称矩阵性质及其应用的研究方向现代科学技术的迅速发展，使得古典的线性代数知识已不能满足现代科技的需要，矩阵的理论和方法业已称为现代科技领域必不可少的工具。而一系列的分解则可以方便方程的数值计算。作为数学的一个重要分支，矩阵理论具有极为丰富的内容。矩阵理论的应用随着人们对科学研究的深入变得愈来愈广。同其他的数学形式一样，矩阵是一种数量表达形式，而这一形式一方面可以简洁地表达出我们平时遇到的如线性方程和协方差关系的协方差矩阵等，另一方面又给进一步的研究或者问题的简化提供了一个平台。如特征值分析、稳定性分析就对应着诸如统计分布和系统稳定性等实际问题。而对称矩阵作为矩阵中的特殊一分子，在数学各个学科的研究中有着特殊的地位。若且满足（是的转置矩阵），则称为数域上的对称矩阵。对称矩阵是矩阵理论的重要组成部分，它在高等代数和其他科技领域中占有重要的位置。同时，它又贯穿了高等代数的许多重要方面。对称矩阵作为一类常用矩阵,其在数学学科和其他科学技术领域的应用也非常广泛。对称矩阵是计算数学、数学物理、控制论等领域中具有广泛应用的重要矩阵类，其应用引起人们极大的研究兴趣。对称矩阵的研究，主要集中在理论与工程应用方面。理论方面主要是研究对称矩阵在对称矩阵的相关性质，包含实对称矩阵的基本性质、二次型矩阵基本性质以及K次对称矩阵的基本性质等，并在研究性质的基础上运用这些性质解决有关对称矩阵的分解问题、对角化问题、特征值问题，二次型及其标准化问题、正定性问题、及其合同问题等。对称矩阵的应用很广泛也很有实用性。实对阵矩阵可应用到几何上化简直角坐标系下二次曲面的方程，以及讨论二次曲面的分类。如：在直角坐标系下，二次曲面的一般方程是令23 则二次曲面方程可表示成。经过转轴，变换公式为.其中为正交矩阵且.在新坐标系中，曲面的方程就是。根据上面的结果，有行列式为1的正交矩阵使。这就是说，可以作一个转轴，使曲面在新坐标系中的方程为，其中。这时再按照是否为零的情况，作适当的移轴与转轴就可以把曲面的方程化成标准方程。譬如说，当全不为零时，就作移轴于是曲面的方程化为，其中。二、对称矩阵的历史发展矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，也是数学研究和应用的一个重要工具。“矩阵”这个词是由西尔维斯特首先使用的，他是为了将数字的矩形阵列区别于行列式而发明了这个述语。矩阵的发展是与线性变换是密切相关的，到19世纪它还仅占线性变换理论形成中有限的空间。但到二次世界大战后随着现代数字计算机的发展，矩阵又有了新的含义，特别是在矩阵的数值分析等方面。由于计算机的飞速发展和广泛应用，许多实际问题可以通过离散化的数值计算得到定量的解决。于是作为处理离散问题的线性代数，成为从事科学研究和工程设计的科技人员必备的数学基础。最早利用矩阵概念的是拉格朗日在170023 年后的双线性型工作中体现的。拉格朗日期望了解多元函数的最大、最小值问题，其方法就是人们知道的拉格朗日迭代法。为了完成这些，他首先需要一阶偏导数为0，另外还要有二阶偏导数矩阵的条件。这个条件就是今天所谓的正、负定矩阵的定义。尽管拉格朗日没有明确地提出利用矩阵。但是随着对线性代数的研究，矩阵的概念很快被人们提出并熟悉。对称矩阵的研究主要来自对实二次型的研究。二次型的研究主要讨论二次型经过非退化线性替换化为只含有平方项的形式，以便于对二次型进行分类讨论。二次型与欧氏空间内积计算问题，二次规划的最优解问题等密切相关，物理及工程问题也可见其身影。因此，对称矩阵作为特殊的矩阵，由二次型出发延伸出一些重要的概念性质以及诸多的的应用。对称矩阵是计算数学、数学物理、控制论等领域中具有广泛应用的重要矩阵类。三、对称矩阵及其性质的国内外研究现状及存在问题实对称矩阵在实二次型的研究中起着重要作用。实对称矩阵有着其特殊的性质。对于任一实对称矩阵，其特征值均为实数，相应于不同特征值的特征向量是正交的。且对任意的实对称矩阵，均可以正交相似于对角矩阵。相应的任意实二次型均可以通过正交替换化为标准型。实二次型中最为重要的是正定二次型，相应的矩阵为正定矩阵。正定矩阵的性质及其判定构成矩阵研究的重要内容。在许多文献中对正定矩阵的性质，正定矩阵的判定，一些特殊正定矩阵的特征值估计以及正定矩阵的应用做了论述。与实对称矩阵的研究相对应的有复数域上的Hemite矩阵。只因为对称矩阵的特殊性质，其应用具有广泛性。正因为其应用的广泛性，它的研究领域也逐渐拓宽了，对于广义正定矩阵的性质，复正定矩阵性质，亚正定矩阵性质等等这些方面的应用的关注和探究是现在研究的主要内容。四、主要参考依据[1]王萼芳,石生明.高等代数.[M].北京:高等教育出版社,2003.9:162-397.[2]王品超.高等代数新方法[M].河南:山东教育出版社,1989:117-384.[3]史秀英.对称矩阵的分解及其应用[J].内蒙古民族师院学报,1999,14(2):188-189.[4]宋国乡,冯象初.对称矩阵的一种特殊分解[J].工程数学学报,1990,7(3):122-126.[5]付立志.对称矩阵对角化的相似模型[J].河南科学，2005,23(4):476-478.[6]恽鹏伟.关于对称矩阵合同变换的进一步思考[J].吉林广播电视大学学报,2001,(4):22-25.[7]姜景连.关于《高等代数》中的对阵矩阵[J].南平师专学报，2005,24(2):4-6.[8]张厚超,李瑞娟.关于Hermite矩阵正定性性判定的等价条件及证明[J].河南教育学院报,2009,18(1):7-8.23 [9]刘玉,蔡乌芳,郑礼哲.K—次对称矩阵及其性质[J].南通大学学报,2010,9(2):84-89.[10]张诚一.n元二次式极值的矩阵求法[J].南都学坛,1994,14:46-49.[11]彭文华.对称矩阵的两特征值问题[J].大学数学,2004,20(3):19-20.[12]同济大学数学教研室．线性代数（第二版）．高等教育出版社，1991．823 （20__届）本科毕业设计数学与应用数学对称矩阵的性质及其应用23 目录1对称矩阵的性质11.1对称矩阵的基本性质11.2实对称矩阵的性质31.3复对称矩阵的性质82对称矩阵的应用92.1二次型标准化92.2二次曲面的分类102.3多元函数的极值1123 对称矩阵的性质及其应用摘要本文以矩阵的相关知识为基础，先给出了对称矩阵的相关概念及其背景；然后总结探讨了对称矩阵的一些性质，在此基础上又对对称矩阵的加法、乘法等运算相关性质进行研究；最后介绍了对称矩阵在二次型等方面的应用.关键词对称矩阵；实对称矩阵；复对称矩阵；二次型；应用在矩阵中，对称矩阵是计算数学、数学物理、控制论等领域中具有广泛应用的重要矩阵类.本文给出了对称矩阵的相关性质及其应用.1.对称矩阵的性质若且满足(是A的转置矩阵)，则称A为数域P上的对称矩阵.对称矩阵作为特殊的矩阵，是由二次型得出的一个概念.定义1数域上的一个n元二次型与线性替换用矩阵A表示，则有系数排成的一个矩阵它就称为二次型的矩阵，因为，所以.我们把这样的矩阵称为对称矩阵.根据定义1，显然，A为对称矩阵的充要条件即或.对称矩阵的特点是：它的元素以主对角线为对称轴对应元素相等.1.1对称矩阵的的基本性质对称矩阵作为特殊的矩阵，同样满足相关的矩阵的运算，有如下性质：(1)两个对称矩阵的和或差仍是对称矩阵；(2)数与对称矩阵的乘积仍是对称矩阵；23 不难验证对称矩阵的线性运算（矩阵的和差及数与矩阵的乘积运算）中，满足下列运算规律①②③④⑤⑥⑦⑧以上A,B,C都是n阶对称矩阵，O为元素全是零的零矩阵，k,l是数.(3)两个对称矩阵的乘积是对称矩阵的充要条件是这两个矩阵可交换；.然而一般地，即对称矩阵的乘法不满足变换律；但仍满足一下运算规律：①②③④特别地，由矩阵乘法可得对称矩阵的正整数幂仍为对称矩阵.其次，如果，且A是对称矩阵，根据A中元素的代数余子式的定义必有（是A中的元素的代数余子式），由伴随矩阵的定义（见[1]P178），那么.所以有(3)对称矩阵的伴随矩阵也是对称的；因为当A可逆时，,所以由2）可得(4)当A可逆时，它的逆矩阵也对称.如果对称矩阵A,B可逆，那么与AB也可逆，且.所以，由(3)有：对称矩阵的负整数幂仍为对称矩阵.即(5)对称矩阵的整数幂仍为对称矩阵.对阵矩阵的的幂满足下列运算规律：①23 ②注意由于矩阵的乘法不满足交换律，所以在一般情况下（设A，B为n阶对称矩阵），,但下规律成立.(6)设A,B，是n阶对称矩阵，且，则.1.2实对称矩阵的性质下面将要从四个方面来了解实对称矩阵的一些相关性质.1.2.1合同标准型定义2设，如果存在可逆矩阵P使得成立，就称矩阵A,B合同.矩阵的合同关系满足以下关系1）反身性：A与A合同.().2）对称性：若A与B合同，则B与A亦合同.事实上:∵A与B合同，即存在可逆矩阵P使∴∵可逆.故也.3）传递性：若A与B合同，B与C合同，则A与C合同.事实上：存在可逆矩阵P、Q使，，而PQ可逆.故也.定理1.1若A与B合同，A为对称矩阵,则B亦是.事实上：∵存在可逆矩阵P使,,故也.显然与对称矩阵合同的矩阵也一定对称，合同关系也是矩阵之间的等价关系.当然对对称矩阵实施若干次合同变换后仍是对称矩阵.定理1.2合同矩阵有相同的秩.定理1.3任一对称矩阵都合同于对角矩阵.若是复对称矩阵，则合同于一形为的矩阵，其中为矩阵A的秩.若A为实对称矩阵，则A合同于一形为23 的矩阵，其中为矩阵A的秩，称为A的正惯性指数，而称为A的负惯性指数.1.2.2特征值、特征向量定理1.4设A是实对称矩阵，则A的特征值皆为实数.证：设是A的任意一个特征值，为相应的特征向量.令，其中为的共轭复数，则于是又因为非零向量，因此故，即是实数.定理1.5设A是实对称矩阵，则中属于A的不同特征值的特征向量必正交证明设是A的两个不同的特征值，是分别属于的特征向量：.由，有.因为，所以.即正交.例1设三阶实对称矩阵的特征值为，对应于的特征向量为,求A.解由于属于不同特征值的特征向量必正交，故设对应于的特征向量，记，由，有，解得.再由,得23 .1.2.3相似标准型定义3若,且存在可逆矩阵使得成立，则称具有相似的关系.由定义3，显然相似关系不一定能保持矩阵的对称性.当且仅当定义3中的矩阵是正交矩阵时相似关系能保持矩阵的对称性，即对称矩阵是欧氏空间的对称变换关于不同标准正交基的矩阵，那么它们必相似；反之，两个相似的实对称矩阵必是欧氏空间的某个对称变换关于不同标准正交基的矩阵.由于实对称矩阵的特征值都是实数，所以实对称矩阵有很好的相似性质；实对称矩阵必与一对叫矩阵（其中是的特征值）相似.定理1.6对于任意的一个n级实对称矩阵A，都存在一个n级正交矩阵T，使成对角形.由相似矩阵有相同的特征值，主对角线上的元素即为的特征值,且的各列为矩阵A相应的特征向量..根据上面的讨论，正交矩阵T的求法可以按以下步骤进行：①求出A的特征值.设是A的全部不同的特征值.②对于每个，解齐次线性方程组，求出一个基础解系，这就是A的特征子空间的一组基.由这组基出发，按施密特正交化的方法求出的一组标准正交基.③因为两两不同，所以向量组还是两两正交的.又根据定理1.5以及[1]中第七章第五节的讨论，它们的个数就等于空间的维数.因此，它们就构成的一组标准正交基，并且也都是A的特征向量.这样，正交矩阵T也就求出了.23 例2试用正交的相似变换矩阵，化下列实对称矩阵为对角矩阵：.解特征方程可取为，或者.先求特征值，这里计算，A的特征值为.解特征方程组求得对应的特征向量分别为.它们线性无关.显然已与正交，且一定与下列正交.用施密特过程将正交化，得.最后再单位化，得,故所求正交矩阵,使.1.2.4实对称矩阵分解定理1.7若，且是对称矩阵.则当且仅当时有.证明：设，则23 因此，又为实数，故.即.对于一般的矩阵，当时，未必有.对于复对称矩阵，当时，未必有.如.定义4设为元实二次型.若对于任意一组不全为零实数，当变元取这组数时，二次型的值总成立，则称实二次型为正定二次型；相应的实对称矩阵称为正定矩阵,记作.实对称矩阵正定的充要条件是的特征值都为正数.对于正定矩阵我们有，定理1.8若为正定矩阵，则存在对称矩阵，使得.证明由定理1.6，存在正交矩阵，使得，.因此23 设则.定理1.8的中矩阵称为矩阵的平方根.定理1.9是正定矩阵的充要条件是存在正交向量组，使.证明必要性.是正定矩阵，因此存在交定矩阵，使，，令（），其中为正交向量组，即得.充分性.(为可逆矩阵)，显然是正定矩阵.1.3复对称矩阵的性质定义5若复矩阵H.满足,称为H的Hermite阵，称为Hermite型.定理1.8Hermite阵是正定的充要条件是，的特征值全大于零.定理1.9设为正定的Hermite阵，则必有i），而B为可逆方阵；ii)，而R为复的可逆的上三角阵；iii）的所有主子式全大于零.23 复对称方阵不一定能与对角矩阵相似，但是它必与一准对角矩阵（约当标准形）相似（[15]P90Th3）.但是复对称方阵可以表示任意复对称方阵的积.定理1.9任意复方阵都可以分解为两个复对称方阵的乘积.证明：设A为任意复方阵，A相似与约当标准形J,即存在可逆方阵T使得等式成立，而取则令有其中，那么C是可逆且对称的.记就有且，即D也对阵.证毕.2.对称矩阵的应用关于对称矩阵的应用有很多，本文主要介绍它在以下几个方面的应用.2.1二次型标准化对于二次型，存在可逆矩阵，经过非退化（[1]P206Th1）线性替换，使得所变成的只含有平方项的形式，该形式称为的一个标准形.例3化二次型成标准型解的矩阵为,取,23 再取，.再取.已是对角矩阵，因此令,就有作非退化线性替换,即得.2.2二次曲面的分类实对称矩阵可以应用到几何上化简直角坐标系下二次曲面的方程，以及讨论二次曲面的分类.在直角坐标系下，二次曲面的一般方程是令23 则先写成.经过转轴，变换公式为.其中C为正交矩阵且.在新坐标系中，曲面的方程就是.根据上面的结果，有行列式为1的正交矩阵C使.这就是说，可以作一个转轴，使曲面在新坐标系中的方程为，其中.这时再按照是否为零的情况，作适当的移轴与转轴就可以把曲面的方程化成标准方程.譬如说，当全不为零时，就作移轴于是曲面的方程化为，其中.根据的取值情况可以确定二次曲面的类型.例4设方程，问此方程表示何种曲面.解方程可改写为，其中，，可以求出矩阵的特征值为9，4，0.所以存在某正交变换，把二次型化为，相应地，方程变为.由此可见，方程表示椭圆柱面.2.3多元函数的极值设元函数在的某领域内有一阶、二阶连续偏导数.又为该领域中任意一点.23 由多元函数的泰勒公式知：.其中，，...当是的驻点时，则有，于是是否为的极值，取决于的符号.由在的某领域中的连续性知，在该领域内，上式的符号可由的符号决定.而后一式是的一个元二次型，它的符号取决于对称矩阵.是否为有定矩阵.我们称这个矩阵为在处的阶黑塞（Hesse）矩阵，其顺序阶主子式记为.我们有如下判别法：（1）当，则为的极小值.（2）当，则为的极大值.（3）为不定矩阵，非极值.（4）为半正定或半负正定矩阵时，既可能是极值，也可能不是极值，尚需利用其他方法来判定.例5求出函数23 的极值.解解方程组得驻点，.,,,.由于是不定矩阵，故在点处没有极值.而在点处，有，，故为负定矩阵，所以是给定函数的极大值.实际上，此极值判别的充分条件完全可以用到一般的多元函数上去.参考文献[1]王萼芳,石生明.高等代数.[m].北京:高等教育出版社,2003.9:162-397.[2]王品超.高等代数新方法.[m].河南:山东教育出版社,1989:117-384.23 [3]史秀英.对称矩阵的分解及其应用[J].内蒙古民族师院学报,1999,14(2):188-189.[4]宋国乡,冯象初.对称矩阵的一种特殊分解[J].工程数学学报,1990,7(3):122-126.[5]付立志.对称矩阵对角化的相似模型[J].河南科学，2005,23(4):476-478.[6]恽鹏伟.关于对称矩阵合同变换的进一步思考[J].吉林广播电视大学学报,2001,(4):22-25.[7]姜景连.关于《高等代数》中的对阵矩阵[J].南平师专学报，2005,24(2):4-6.[8]张厚超,李瑞娟.关于Hermite矩阵正定性性判定的等价条件及证明[J].河南教育学院报,2009,18(1):7-8.[9]刘玉,蔡乌芳,郑礼哲.k—次对称矩阵及其性质[J].南通大学学报,2010,9(2):84-89.[10]张诚一.n元二次式极该值的矩阵求法[J].南都学坛,1994,14:46-49.[11]彭文华.对称矩阵的两特征值问题[J].大学数学,2004,20(3):19-20.[12]同济大学数学教研室.线性代数（第二版）．高等教育出版社,1991,8.[13]魏献祝.高等代数(修订版)[M].上海:华东师范大学出版社.[14]张禾瑞.高等代数:第三版[M].北京:高等教育出版社.[15]孟道冀.高等代数与解析几何(下册)[M].北京:科学出版社.[16]北京大学数力系编.高等代数(第二版)[M].北京:高等教育出版社.[17]北大数学系.高等代数（第三版）PropertiesofSymmetricMatrixandtheirApplicationAbstract:Inthisarticletheconceptofthesymmetricmatrixanditsbackgroundwerepresented;thensomepropertiesofthesymmetricmatrixweresummarizedanddiscussed;finallytheapplicationofthesymmetricmatrixinsimplificationofquadraticformandsoonwereintroduced.Keywords:symmetricmatrix;realsymmetricmatrix;complexsymmetricmatrix;quadraticform;23