22.2 二次函数与一元二次方程.2二次函数与一元二次方程

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1、22.2二次函数与一元二次方程教学目标1.从具体函数的图象中认识二次函数的基本性质,了解二次函数与二次方程的相互关系.2.探索二次函数的变化规律,掌握函数的最大值(或最小值)及函数的增减性的概念.能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根.3.通过具体实例,让学生经历概念的形成过程,使学生体会到函数能够反映实际事物的变化规律,体验数学来源于生活,服务于生活的辩证观点.学情分析学生是在学习了一元二次方程和二次函数初步知识的基础上而进行的学习,对本部分内容接受起来应该较容易。教学重点二次函数与一元二次方程的相互关

2、系.教学难点二次函数与一元二次方程关系的应用.教学过程一、导入新课我们学习了一元一次方程kx+b=0(k≠0)和一次函数y=kx+b(k≠0)后,讨论了它们之间的关系.当一次函数中的函数值y=0时,一次函数y=kx+b就转化成了一元一次方程kx+b=0,且一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与x轴交点的横坐标即为一元一次方程kx+b=0的解.现在我们学习了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)和二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),它们之间是否也存在一定的关系呢?本节课我们将探索有关问题.二、新授课1.问

3、题讲解.如下图,以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时,小球的飞行路线将是一条抛物线.如果不考虑空气阻力,小球的飞行高度h(单位:m)与飞行时间t(单位:s)之间具有函数关系h=20t-5t2.考虑以下问题:(1)小球的飞行高度能否达到15m?如果能,需要多少飞行时间?(2)小球的飞行高度能否达到20m?如果能,需要多少飞行时间?(3)小球的飞行高度能否达到20.5m?为什么?(4)小球从飞出到落地要用多少时间?教师引导学生阅读例题,请大家先发表自己的看法,然后解答.分析:由于小球的飞行高度h与

4、飞行时间t有函数关系h=20t-5t2,所以可以将问题中h的值代入函数解析式,得到关于t的一元二次方程.如果方程有合乎实际的解,则说明小球的飞行高度可以达到问题中h的值;否则,说明小球的飞行高度不能达到问题中h的值.解:(1)解方程15=20t-5t2,t2-4t+3=0,t1=1,t2=3.   当小球飞行1s和3s时,它的飞行高度为15m.(2)解方程20=20t-5t2,t2-4t+4=0,t1=t2=2.   当小球飞行2s时,它的飞行高度为20m.(3)解方程20.5=20t-5t2,t2-4t+4.

5、1=0,因为(-4)2-4×4.1<0,所以方程无实数根.这就是说,小球的飞行高度达不到20.5m.(4)解方程0=20t-5t2,t2-4t=0,t1=0,t2=4.当小球飞行0s和4s时,它的高度为0m.这表明小球从飞行到落地要用4s.从上图来看,0s时小球从地面飞出,4s时小球落回地面.从上面可以看出,二次函数与一元二次方程联系密切.2.拓展延伸.思考:下列二次函数的图象与x轴有公共点吗?如果有,公共点的横坐标是多少?当x取公共点的横坐标时,函数值是多少?由此,你能得出相应的一元二次方程的根吗?(1)y=

6、x2+x-2;   (2)y=x2-6x+9;   (3)y=x2-x+1.教师引导学生画出函数的图象(可见教材第45页),然后说说有什么特点和性质.(1)抛物线y=x2+x-2与x轴有两个公共点,它们的横坐标是-2,1.当x取公共点的横坐标时,函数值是0.由此得出方程x2+x-2=0的根是-2,1.(2)抛物线y=x2-6x+9与x轴有一个公共点,这点的横坐标是3.当x=3时,函数值是0.由此得出方程x2-6x+9=0有两个相等的实数根3.(3)抛物线y=x2-x+1与x轴没有公共点.由此可知,方程x2-x+

7、1=0没有实数根.3.归纳总结.从二次函数y=ax2+bx+c的图象可以得出什么结论呢?归纳:一般地,从二次函数y=ax2+bx+c的图象可得如下结论.(1)如果抛物线y=ax2+bx+c与x轴有公共点,公共点的横坐标是x0,那么当x=x0时,函数值是0,因此x=x0是方程ax2+bx+c=0的一个根.(2)二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的位置关系有三种:没有公共点,有一个公共点,有两个公共点.这对应着一元二次方程ax2+bx+c=0的根的三种情况:没有实数根,有两个相等的实数根,有两个不等的实数根.

8、三、巩固练习1.教材第46页例题.教师让学生小组为单位讨论、解答.必要时教师可进行指导.2.习题22.2第14题.四、小结本节课你有何收获?五、布置作业习题22.2第2、4题。