函数专题五-恒成立问题之讨论参数范围教师版

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1、函数专题五•恒成立问题之讨论参数范围1.设函数f(x)=ex-bsinx/g(x)=ax/F(x)=f(x)—g(x).(I)若x=0是F(x)的极值点，求a的值；(II)当E时，设Q(x2/g(x2))(x1>0/x2>0)/且PQ//x轴，求P、Q两点间的最短距离;(III):若X20吋,函数尸F(x啲图象恒在y=F(—x)的图象上方,求实数a的取值范围.解：(I)F(x)=ex+sinx—ax,Fx)=ex+cosx—a.因为x=0是F(x啲极值点，所以F(0)=1+1—q=0,q=2.又当a=2时，若xvO,F'(x)=ex+cosx—a<0;若x>0,F'(x)

2、=ex+cosx-a>0.Ax=0是F(x)的极小值点，・・・。=2符合题意.(II)Va=l,且PQ//x轴，由/(xi)=g(x2)得:x2=ex'+sinx{，所以x2-xi=eXl+sinx{-xr令h(x)=ex+sin兀一x,h*(x)=ex+cosx->0当x>0时恒成立.・・・xG［0,+8)时力(x)的最小值为h(0)=l.A

3、PQ/m/n=l.(III)令0(兀)=F(x)-F(—x)=ex-e~x+2sinx-2ox.则

4、xn0当xno时恒成立，所以函数S(x)在［0,+oo)上单调递增，.•.S(x)>S(0)=0当xW［0,+oo)时恒成立;因此函数00)在［0,+oo)上单调递增，(Px)>0(0)二4一2。当xe［0,+oo)吋恒成立.当a<2时,0(兀)>0,0(兀)在［0,+8)单调递增，即(p(x)>0(0)=0.故a<2时F(x)»F(—x)恒成立.当G>20寸，0(兀)V0,又•・•0(兀)在［0,+oo)单调递增,・・・总存在X。G(0,+oo),使得在区间［0,X。)上0(x)vO导致0(兀)在［0,勺)递减，而0(0)=0,•••当xw(Ox。)时，(p(x)<0,

5、这与F(x)-F(-x)>OXJxg［0,+s)恒成立不符，・・・d>2不合题意.综上°取值范围是(-co,2］14分1.(用到二阶导数，二次)•kr设函数/(x)=ex——X2-x.2⑴若k=0,求/(劝的最小值；⑵若当xno时f(x)>1,求实数比的取值范围.解：(1)鸟=0时，f(x)=ex-x,f*(x)=ex-1.当XG(-00,0)时,广(X)vO；当XG(0,+oo)时,fx)>0.所以/(劝在(-8,0)上单调减小，在(0,+OO)上单调增加故/(X)的最小值为/(0)=1(2)fx)=ex-kx-l,/#(x)=ex-k当仁1时，厂(x)nO(沦0),

6、所以广(力在［0,+-)上递增，而广(0)=0,所以/*(x)>0(x>0),所以/⑴在［0,+8)上递增，而/(O)=1,于是当兀no时,/(X)>1.当£>1时，由(兀)=0得x=lnk当兀w(0,Ink)时，厂(兀)<0,所以fx)在(O,lnk)上递减，而.厂(0)=0,于是当施(0,ln灯时，.厂⑴<0,所以/(劝在(O,ln幻上递减，而/(0)=1,所以当兀w(O,lnR)时,/(x)<1.综上得k的取值范围为(―,1］,2.(第3问设计很好，2问是单独的，可以拿掉)已知函数/(x)=/7(x+l)lnx-x+l,斜率为1的直线与/(兀)相切于(1,0)点.(

7、I)求h(x)=f(x)-xlnx的单调区间;(II)当实数0vac1时，讨论gO)=/(x)-(<74-x)lnx+—6fx2的极值点。2(III)证明:(x-l)f(x)>0.r4-1解：(I)由题意知：/(x)=/?(lnx+——)-1xf(l)=2b-l=l9b=l2分h{x)-/(x)-xInx=Inx-x+1/Z(x)=--1川(兀)二丄_l>o解得：0XX所以/z(x)在(0,1)上单调递增，在(l,+oo)上单调递减4分191.(II)g(x)=/(X)-(Q+X)hix+—6LT=(1-Q)lnx+—QJT—尤+

8、122仃、17

9、尼7+li［以-(1-创(-1)小一(qT)卜T).•-g(x)=+处一1===XXXXg‘(兀)=0得：兀］=丄—1,兀2=1.a1°若0v丄-lvl,a>0即丄VQVl,00即。=丄,x,=x2=1,则g©)nO,g(x)在(0,+8)上单调递增,a2~无极值点.3°若丄一1>1,«>0即0x2=1,ci2X（0,兀2）兀