2020版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何10第9讲圆锥曲线中的证明、范围（最值）问题新题培优练文（含解析）新人教A版

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1、第9讲圆锥曲线中的证明、范围（最值）问题[基础题组练]1．过椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为左焦点F，若0，b>0)的右焦点F作圆x2＋y2＝a2的切线FM(切点为M)，交y轴于点P.若M为线段FP的中点，则双曲线的离心率是(　　)A.B.C．2D.解析：选A.因为OM⊥PF，且MF＝P

2、M，所以OP＝OF，所以∠OFP＝45°，所以

3、OM

4、＝

5、OF

6、·sin45°，即a＝c·，所以e＝＝.3．(2018·高考浙江卷)已知点P(0，1)，椭圆＋y2＝m(m>1)上两点A，B满足＝2，则当m＝________时，点B横坐标的绝对值最大．解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由＝2，得即x1＝－2x2，y1＝3－2y2.因为点A，B在椭圆上，所以得y2＝m＋，所以x＝m－(3－2y2)2＝－m2＋m－＝－(m－5)2＋4≤4，所以当m＝5时，点B横坐标的绝对值最大，最大值为2.-7-答案：54．已知椭圆C：＋＝1的右焦点为F，P为椭圆C

7、上一动点，定点A(2，4)，则

8、PA

9、－

10、PF

11、的最小值为________．　解析：如图，设椭圆的左焦点为F′，则

12、PF

13、＋

14、PF′

15、＝4，所以

16、PF

17、＝4－

18、PF′

19、，所以

20、PA

21、－

22、PF

23、＝

24、PA

25、＋

26、PF′

27、－4.当且仅当P，A，F′三点共线时，

28、PA

29、＋

30、PF′

31、取最小值

32、AF′

33、＝＝5，所以

34、PA

35、－

36、PF

37、的最小值为1.答案：15．已知椭圆M：＋＝1(a>b>0)的离心率为，焦距为2.斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A，B.(1)求椭圆M的方程；(2)若k＝1，求

38、AB

39、的最大值．解：(1)由题意得解得a＝，b＝1.所以椭圆M的方程为

40、＋y2＝1.(2)设直线l的方程为y＝x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)．由得4x2＋6mx＋3m2－3＝0.所以x1＋x2＝－，x1x2＝.

41、AB

42、＝＝＝＝.当m＝0，即直线l过原点时，

43、AB

44、最大，最大值为.6．(2018·高考浙江卷)如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2＝4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上．-7-(1)设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；(2)若P是半椭圆x2＋＝1(x<0)上的动点，求△PAB面积的取值范围．解：(1)设P(x0，y0)，A，B.因为PA，PB的中点在抛物线上，所以

45、y1，y2为方程＝4·即y2－2y0y＋8x0－y＝0的两个不同的实根．所以y1＋y2＝2y0，因此，PM垂直于y轴．(2)由(1)可知所以

46、PM

47、＝(y＋y)－x0＝y－3x0，

48、y1－y2

49、＝2.因此，△PAB的面积S△PAB＝

50、PM

51、·

52、y1－y2

53、＝(y－4x0).因为x＋＝1(x0<0)，所以y－4x0＝－4x－4x0＋4∈[4，5]，因此，△PAB面积的取值范围是.[综合题组练]1．(综合型)(2019·益阳、湘潭市调研)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)经过点，离心率为.(1)求椭圆E的方程；(2)设点A，F分别为椭圆的右顶点、右焦点，经过点

54、F作直线交椭圆于C，D两点，求四边形OCAD面积的最大值(O为坐标原点)．-7-解：(1)由题设得解得所以椭圆E的方程为＋＝1.(2)设直线CD的方程为x＝ky＋1，C(x1，y1)，D(x2，y2)，与椭圆方程＋＝1联立得(3k2＋4)y2＋6ky－9＝0.所以y1＋y2＝－，y1y2＝－.所以S四边形OCAD＝S△OCA＋S△ODA＝×2×

55、y1

56、＋×2×

57、y2

58、＝

59、y1－y2

60、＝＝＝＝(其中t＝，t≥1)．因为当t≥1时，y＝3t＋单调递增，所以3t＋≥4，所以S四边形OCAD≤3(当k＝0时取等号)，即四边形OCAD面积的最大值为3.2．(201

61、8·高考全国卷Ⅰ)设抛物线C：y2＝2x，点A(2，0)，B(－2，0)，过点A的直线l与C交于M，N两点．(1)当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；(2)证明：∠ABM＝∠ABN.解：(1)当l与x轴垂直时，l的方程为x＝2，可得M的坐标为(2，2)或(2，－2)．所以直线BM的方程为y＝x＋1或y＝－x－1.(2)证明：当l与x轴垂直时，AB为MN的垂直平分线，所以∠ABM＝∠ABN.当l与x轴不垂直时，设l的方程为y＝k(x－2)(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1>0，x2>0.-7-由得ky2－2y－4k＝0，可知y1＋y2＝

62、，y1y2＝－4.直线BM，BN的斜率之和为kBM＋kBN＝＋＝.①将x1＝＋2