江苏专用高考数学复习专题9平面解析几何第77练高考大题突破练—圆锥曲线中的范围、最值问题文.docx

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1、第77练高考大题突破练—圆锥曲线中的范围、最值问题[基础保分练]1.(2018·南通考试)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左顶点,右焦点分别为A,F,右准线为m.(1)若直线m上不存在点Q,使△AFQ为等腰三角形,求椭圆离心率的取值范围;(2)在(1)的条件下,当e取最大值时,A点坐标为(-2,0),设B,M,N是椭圆上的三点,且=+,求以线段MN的中点为圆心,过A,F两点的圆方程.2.已知圆M:x2+y2+2y-7=0和点N(0,1),动圆P经过点N且与圆M相切,圆心P的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程;(2)点

2、A是曲线E与x轴正半轴的交点,点B,C在曲线E上,若直线AB,AC的斜率k1,k2满足k1k2=4,求△ABC面积的最大值.3.如图,P为圆M:(x-)2+y2=24上的动点,定点Q(-,0),线段PQ的垂直平分线交线段MP于点N.(1)求动点N的轨迹方程;(2)记动点N的轨迹为曲线C,设圆O:x2+y2=2的切线l交曲线C于A,B两点,求OA·OB的最大值.[能力提升练]4.如图,点A,B,D,F分别为椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右顶点,下顶点和右焦点,直线l过点F,与椭圆C交于点P,Q.已知当直线l⊥x轴时,

3、PQ=AB.(1)求椭圆C的离心率;(2)若当点P与D重合时,点Q到椭圆C的右准线的距离为.①求椭圆C的方程;②求△APQ面积的最大值.答案精析基础保分练1.解 (1)设直线m与x轴的交点是Q,依题意FQ≥FA,即-c≥a+c,≥1+2,≥1+2e,2e2+e-1≤0,0

4、F两点,所以线段MN的中点的坐标为,又2==.②由①和②得2===·=,所以圆心坐标为,故所求圆的方程为2+2=.2.解 (1)圆M:x2+y2+2y-7=0的圆心为M(0,-1),半径为2,点N(0,1)在圆M内,因为动圆P经过点N且与圆M相切,所以动圆P与圆M内切.设动圆P半径为r,则2-r=PM.因为动圆P经过点N,所以r=PN,PM+PN=2>MN,所以曲线E是以M,N为焦点,长轴长为2的椭圆.由a=,得b2=2-1=1,所以曲线E的方程为x2+=1.(2)当直线BC的斜率为0时,不合题意.设B(x1,y1),

5、C(x2,y2),直线BC:x=ty+m,联立方程组得(1+2t2)y2+4mty+2m2-2=0,y1,2=,y1+y2=-,y1y2=,又k1k2=4,知y1y2=4(x1-1)(x2-1)=4(ty1+m-1)·(ty2+m-1)=4t2y1y2+4(m-1)t(y1+y2)+4(m-1)2.代入得(1-4t2)=4(m-1)+4(m-1)2.又m≠1,化简得(m+1)(1-4t2)=2(-4mt2)+2(m-1)·(1+2t2),解得m=3,故直线BC过定点(3,0).由Δ>0,解得t2>4,S△ABC=·2·

6、

7、y2-y1

8、===≤.综上,△ABC面积的最大值为.3.解 (1)因为NM+NQ=NM+NP=MP=2>2=MQ,∴动点N的轨迹为椭圆,∴a=,c=,∴b2=3,∴动点N的轨迹方程为+=1.(2)①当切线l垂直坐标轴时,OA·OB=4;②当切线l不垂直坐标轴时,设切线l的方程为y=kx+m(k≠0),点A(x1,y1),B(x2,y2),由直线和圆相切,得m2=2+2k2.由得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-6=0,x1,2=,∴x1+x2=-,x1x2=,∴x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+m)·(kx

9、2+m)=(k2+1)x1x2+km(x1+x2)+m2=(k2+1)·-km·+m2==0,∴∠AOB=90°,又S△ABC=OA·OB=××AB,∴OA·OB=AB.又∵AB=

10、x1-x2

11、=·=,令t=k2,则AB=2=2≤3,当且仅当k=±时,等号成立,∴OA·OB≤3,综上,OA·OB的最大值为3.能力提升练4.解 (1)在+=1中,令x=c,可得=1-=,所以y2=,所以当直线l⊥x轴时,PQ=,又PQ=AB,所以=×2a,所以=,所以e2==1-=.因为0

12、c,b==c,椭圆方程为+=1,当点P与点D重合时,P点坐标为(0,-c),又F(c,0),所以此时直线l为y=x-c,由得xQ=c,又-c=,所以c=1,所以椭圆方程为+=1.②由题意可设直线l为x=my+1,当m=0时,l:x=1,∴S△APQ=×3×3=,当m≠0时,由得3(my+1)2+4y2=12,即(3m2+4)y2+

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