高考数学复习平面解析几何第77练高考大题突破练—圆锥曲线中的范围、最值问题练习

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1、第77练高考大题突破练—圆锥曲线中的范围、最值问题[基础保分练]1.(2019·嘉兴模拟)如图，AB为半圆x2＋y2＝1(y≥0)的直径，点D，P是半圆弧上的两点，OD⊥AB，∠POB＝30°.曲线C经过点P，且曲线C上任意点M满足：

2、MA

3、＋

4、MB

5、为定值.(1)求曲线C的方程；(2)设过点D的直线l与曲线C交于不同的两点E，F，求△OEF的面积最大时的直线l的方程.2.(2019·温州模拟)斜率为k的直线交抛物线x2＝4y于A，B两点，已知点B的横坐标比点A的横坐标大4，直线y＝－kx＋1交线段AB于点R，交抛物线于点P，Q.(1)若点A的横坐标等于0，求

6、PQ

7、

8、的值；(2)求

9、PR

10、·

11、QR

12、的最大值.3.(2019·台州模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，左顶点为A，点P(，)在椭圆C上，且△PF1F2的面积为2.(1)求椭圆C的方程；(2)过原点O且与x轴不重合的直线交椭圆C于E，F两点，直线AE，AF分别与y轴交于点M，N.求证：以MN为直径的圆恒过焦点F1，F2，并求出△F1MN面积的取值范围.[能力提升练]4.已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，其短轴的一个端点与两个焦点构成面积为的正三角形，过椭圆C的右焦点作斜率为k(k≠0)的直线l与椭圆C相交于A，B两点，线段AB的中点为P.

13、(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点P垂直于AB的直线与x轴交于点D，试求的取值范围.答案精析基础保分练1．解　(1)根据椭圆的定义知，曲线C是以A(－1,0)，B(1,0)为焦点的椭圆，其中2c＝2，P.2a＝

14、PA

15、＋

16、PB

17、＝＋＝＋，∴a2＝，b2＝，∴曲线C的方程为＋＝1.(2)由题意知过点D的直线l的斜率存在，设其为k，则l：y＝kx＋1.由得(2＋6k2)x2＋12kx＋3＝0，Δ＝(12k)2－4·(2＋6k2)·3＝24(3k2－1)>0，x1＋x2＝－，x1·x2＝，∴

18、EF

19、＝·

20、x1－x2

21、＝·，又∵点O到直线l的距离d＝，∴△OEF的面积S＝

22、·

23、EF

24、·d＝.令＝λ，λ>0，则S＝·＝·≤·＝.当且仅当λ＝，即λ＝，3k2－1＝2，k＝±1时，△OEF面积取最大值.此时直线l的方程为x－y＋1＝0或x＋y－1＝0.2．解　(1)∵A(0,0)，∴B(4,4)，∴k＝1，联立可得x2＋4x－4＝0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝－4，x1x2＝－4，则

25、PQ

26、＝

27、x1－x2

28、＝8.(2)设AB的方程为y＝kx＋b，代入x2＝4y，得x2－4kx－4b＝0，∵xB－xA＝＝4，∴k2＝1－b，由解得xR＝＝，联立得x2＋4kx－4＝0.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2

29、＝－4k，x1x2＝－4，∴

30、PR

31、·

32、QR

33、＝－(1＋k2)(x1－xR)(x2－xR)＝－(1＋k2)[x1x2－xR(x1＋x2)＋x]＝－(1＋k2)＝－2＋，∴当k＝±时，

34、PR

35、·

36、QR

37、取得最大值.3．解　(1)设椭圆C的焦距为2c，∵S△PF1F2＝×2c×＝2，∴c＝2，又点P(，)在椭圆C上，∴＋＝1，∴a4－9a2＋8＝0，解得a2＝8或a2＝1(舍去)，又a2－b2＝4，∴b2＝4，∴椭圆C的方程为＋＝1.(2)∵A(－2，0)，F1(－2,0)，F2(2,0)，当直线EF的斜率不存在时，E，F为短轴的两个端点，由对称性不妨令点E在x轴上方，

38、则M(0,2)，N(0，－2)，∴F1M⊥F1N，F2M⊥F2N，则以MN为直径的圆恒过焦点F1，F2.当直线EF的斜率存在且不为零时，设直线EF的方程为y＝kx(k≠0)，设点E(x0，y0)(不妨设x0>0)，则点F(－x0，－y0)，由消去y，得x2＝，∴x0＝，y0＝，∴直线AE的方程为y＝(x＋2)，∵直线AE与y轴交于点M，令x＝0，得y＝，即点M，同理可得点N，∴＝，＝，∴·＝0，∴F1M⊥F1N，同理F2M⊥F2N，则以MN为直径的圆恒过焦点F1，F2.当直线EF的斜率存在且不为零时，

39、MN

40、＝＝＝2·>4，∴△F1MN的面积为

41、OF1

42、·

43、MN

44、>

45、4.当直线EF的斜率不存在时，

46、MN

47、＝4，△F1MN的面积为

48、OF1

49、·

50、MN

51、＝4.综上，以MN为直径的圆恒过焦点F1，F2，△F1MN面积的取值范围是[4，＋∞)．能力提升练4．解　(1)设右焦点的坐标为(c,0)，易知面积为的正三角形的边长为2，依题意知，2a＝4，a＝2，c＝a＝1，所以b2＝a2－c2＝3，所以，椭圆C的方程为＋＝1.(2)设过椭圆C的右焦点的直线l的方程为y＝k(x－1)，将其代入＋＝1中，得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，其中，Δ＝144(k2＋1)>0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x