江苏专用高考数学复习平面解析几何第77练高考大题突破练_圆锥曲线中的范围最值问题文含解析

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1、第77练高考大题突破练—圆锥曲线中的范围、最值问题[基础保分练]1.(2018·南通考试)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左顶点，右焦点分别为A，F，右准线为m.(1)若直线m上不存在点Q，使△AFQ为等腰三角形，求椭圆离心率的取值范围；(2)在(1)的条件下，当e取最大值时，A点坐标为(－2,0)，设B，M，N是椭圆上的三点，且＝＋，求以线段MN的中点为圆心，过A，F两点的圆方程.2.已知圆M：x2＋y2＋2y－7＝0和点N(0,1)，动圆P经过点N且与圆M相切，圆心P的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程；(

2、2)点A是曲线E与x轴正半轴的交点，点B，C在曲线E上，若直线AB，AC的斜率k1，k2满足k1k2＝4，求△ABC面积的最大值.3.如图，P为圆M：(x－)2＋y2＝24上的动点，定点Q(－，0)，线段PQ的垂直平分线交线段MP于点N.(1)求动点N的轨迹方程；(2)记动点N的轨迹为曲线C，设圆O：x2＋y2＝2的切线l交曲线C于A，B两点，求OA·OB的最大值.[能力提升练]4.如图，点A，B，D，F分别为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点，下顶点和右焦点，直线l过点F，与椭圆C交于点P，Q.已知当直线

3、l⊥x轴时，PQ＝AB.(1)求椭圆C的离心率；(2)若当点P与D重合时，点Q到椭圆C的右准线的距离为.①求椭圆C的方程；②求△APQ面积的最大值.答案精析基础保分练1.解　(1)设直线m与x轴的交点是Q，依题意FQ≥FA，即－c≥a＋c，≥1＋2，≥1＋2e，2e2＋e－1≤0,0

4、0.①因为圆过A，F两点，所以线段MN的中点的坐标为，又2＝＝.②由①和②得2＝＝＝·＝，所以圆心坐标为，故所求圆的方程为2＋2＝.2.解　(1)圆M：x2＋y2＋2y－7＝0的圆心为M(0，－1)，半径为2，点N(0,1)在圆M内，因为动圆P经过点N且与圆M相切，所以动圆P与圆M内切.设动圆P半径为r，则2－r＝PM.因为动圆P经过点N，所以r＝PN，PM＋PN＝2>MN，所以曲线E是以M，N为焦点，长轴长为2的椭圆.由a＝，得b2＝2－1＝1，所以曲线E的方程为x2＋＝1.(2)当直线BC的斜率为0时，不合题

5、意.设B(x1，y1)，C(x2，y2)，直线BC：x＝ty＋m，联立方程组得(1＋2t2)y2＋4mty＋2m2－2＝0，y1,2＝，y1＋y2＝－，y1y2＝，又k1k2＝4，知y1y2＝4(x1－1)(x2－1)＝4(ty1＋m－1)·(ty2＋m－1)＝4t2y1y2＋4(m－1)t(y1＋y2)＋4(m－1)2.代入得(1－4t2)＝4(m－1)＋4(m－1)2.又m≠1，化简得(m＋1)(1－4t2)＝2(－4mt2)＋2(m－1)·(1＋2t2)，解得m＝3，故直线BC过定点(3,0).由Δ>0，解

6、得t2>4，S△ABC＝·2·

7、y2－y1

8、＝＝＝≤.综上，△ABC面积的最大值为.3.解　(1)因为NM＋NQ＝NM＋NP＝MP＝2>2＝MQ，∴动点N的轨迹为椭圆，∴a＝，c＝，∴b2＝3，∴动点N的轨迹方程为＋＝1.(2)①当切线l垂直坐标轴时，OA·OB＝4；②当切线l不垂直坐标轴时，设切线l的方程为y＝kx＋m(k≠0)，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由直线和圆相切，得m2＝2＋2k2.由得(2k2＋1)x2＋4kmx＋2m2－6＝0，x1,2＝，∴x1＋x2＝－，x1x2＝，∴x1x2＋y1y

9、2＝x1x2＋(kx1＋m)·(kx2＋m)＝(k2＋1)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝(k2＋1)·－km·＋m2＝＝0，∴∠AOB＝90°，又S△ABC＝OA·OB＝××AB，∴OA·OB＝AB.又∵AB＝

10、x1－x2

11、＝·＝，令t＝k2，则AB＝2＝2≤3，当且仅当k＝±时，等号成立，∴OA·OB≤3，综上，OA·OB的最大值为3.能力提升练4.解　(1)在＋＝1中，令x＝c，可得＝1－＝，所以y2＝，所以当直线l⊥x轴时，PQ＝，又PQ＝AB，所以＝×2a，所以＝，所以e2＝＝1－＝.因为0

12、，所以e＝.(2)①因为e＝＝，所以a＝2c，b＝＝c，椭圆方程为＋＝1，当点P与点D重合时，P点坐标为(0，－c)，又F(c,0)，所以此时直线l为y＝x－c，由得xQ＝c，又－c＝，所以c＝1，所以椭圆方程为＋＝1.②由题意可设直线l为x＝my＋1，当m＝0时，l：x＝1，∴S△APQ＝×3×3＝，当m≠0时，由得3(my＋1)2＋4y2＝12，即(3m2＋4)y2＋