2020版高考数学第九章平面解析几何第10讲圆锥曲线中的范围、最值问题分层演练理（含解析）新人教A版

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1、第10讲圆锥曲线中的范围、最值问题1．如图，抛物线W：y2＝4x与圆C：(x－1)2＋y2＝25交于A，B两点，点P为劣弧上不同于A，B的一个动点，与x轴平行的直线PQ交抛物线W于点Q，则△PQC的周长的取值范围是(　　)A．(10，14)　　　　　　　B．(12，14)C．(10，12)D．(9，11)解析：选C.抛物线的准线l：x＝－1，焦点(1，0)，由抛物线定义可得

2、QC

3、＝xQ＋1，圆(x－1)2＋y2＝25的圆心为C(1，0)，半径为5，可得△PQC的周长＝

4、QC

5、＋

6、PQ

7、＋

8、PC

9、＝

10、xQ＋1＋(xP－xQ)＋5＝6＋xP，由抛物线y2＝4x及圆(x－1)2＋y2＝25可得交点的横坐标为4，即有xP∈(4，6)，可得6＋xP∈(10，12)，故△PQC的周长的取值范围是(10，12)．故选C.2．过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F，斜率为的直线交抛物线于A，B两点，若＝λ(λ＞1)，则λ的值为________．解析：根据题意设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由＝λ，得＝λ，故－y1＝λy2，即λ＝.设直线AB的方程为y＝，联立直线与抛物线方程，消元得y2－py－p2＝0.

11、故y1＋y2＝p，y1·y2＝－p2，＝＋＋2＝－，即－λ－＋2＝－.又λ＞1，故λ＝4.答案：43．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的焦距为4且过点(，－2)．(1)求椭圆C的方程；(2)过椭圆焦点的直线l与椭圆C分别交于点E，F，求·的取值范围．解：(1)椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的焦距是4，所以焦点坐标是(0，－2)，(0，2)，2a＝＋＝4，所以a＝2，b＝2，即椭圆C的方程是＋＝1.(2)若直线l垂直于x轴，则点E(0，2)，F(0，－2)，·＝－8.若直线l不垂直于x轴，不妨设l过该椭

12、圆的上焦点，则l的方程为y＝kx＋2，设点E(x1，y1)，F(x2，y2)，将直线l的方程代入椭圆C的方程得到(2＋k2)x2＋4kx－4＝0，则x1＋x2＝，x1x2＝，所以·＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋2k(x1＋x2)＋4＝＋＋4＝－8，因为0＜≤10，所以－8＜·≤2，所以·的取值范围是[－8，2]．4．设椭圆M：＋＝1(a>b>0)的离心率与双曲线x2－y2＝1的离心率互为倒数，且椭圆的长轴长为4.(1)求椭圆M的方程；(2)若直线y＝x＋m交椭圆M于A，B两点，P(1，

13、)为椭圆M上一点，求△PAB面积的最大值．解：(1)由题可知，双曲线的离心率为，则椭圆的离心率e＝＝，由2a＝4，＝，b2＝a2－c2，得a＝2，c＝，b＝，故椭圆M的方程为＋＝1.(2)不妨设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程组，得4x2＋2mx＋m2－4＝0，由Δ＝(2m)2－16(m2－4)>0，得－2

14、AB

15、＝

16、x1－x2

17、＝·＝·＝·.又P到直线AB的距离为d＝，所以S△PAB＝

18、AB

19、·d＝··＝＝≤·＝.当且仅当m＝±2∈(－2，2)时取等号，所以(S△PA

20、B)max＝.1．(2019·合肥质量检测(一))已知点F为椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左焦点，且两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形，直线＋＝1与椭圆E有且仅有一个交点M.(1)求椭圆E的方程；(2)设直线＋＝1与y轴交于P，过点P的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B若λ

21、PM

22、2＝

23、PA

24、·

25、PB

26、，求实数λ的取值范围．解：(1)由题意，得a＝2c，b＝c，则椭圆E为＋＝1.由，得x2－2x＋4－3c2＝0.因为直线＋＝1与椭圆E有且仅有一个交点M，所以Δ＝4－4(4－3c2)＝0⇒c2＝

27、1，所以椭圆E的方程为＋＝1.(2)由(1)得M(1，)，因为直线＋＝1与y轴交于P(0，2)，所以

28、PM

29、2＝，当直线l与x轴垂直时，

30、PA

31、·

32、PB

33、＝(2＋)×(2－)＝1，所以λ

34、PM

35、2＝

36、PA

37、·

38、PB

39、⇒λ＝，当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝kx＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由⇒(3＋4k2)x2＋16kx＋4＝0，依题意得，x1x2＝，且Δ＝48(4k2－1)>0，所以

40、PA

41、·

42、PB

43、＝(1＋k2)x1x2＝(1＋k2)·＝1＋＝λ，所以λ＝(1＋)，因为k

44、2>，所以<λ<1.综上所述，λ的取值范围是[，1)．2．(2017·高考山东卷)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，椭圆C截直线y＝1所得线段的长度为2.(1)求椭圆C的方程；(2)动直线l：y＝kx＋m(m≠0)交椭圆C于A，B两点，交y轴于点M，点N是M关于O的对称点，⊙N的半径为

45、NO

46、.设D为AB的中点，DE，DF与⊙N分别相切于点E，F，求∠EDF的最小值．解：(1)由椭圆的离心率为，得a2＝2(a2－b2)．又当y＝1时