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《高等代数教案第一章基本概念》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、第一章基本概念一综述1．本章是本门课程所需要的最基本概念（集合、映射、整数的一些性质、数环和数域）和方法（数学归纳法、反证法）.所需位置不同,可根据课时安排及进度分散处理.如集合、整数的一些整除性质、数学归纳法、数环和数域可先讲,映射可放在线性空间前讲.2．从内容上讲,除集合中的卡氏积的概念及数环、数域的概念外,其它内容是学生在中学数学当中熟知的,只不过是将有关内容的系统化、理论化（如整数的整除性、映射、数学归纳法,其在中学中熟知其一些事实,今在理论上加以严密论证）.3．新的知识点是集合的卡氏积、数环、数域的概念,数学归纳法作为定理的论证.4．学习本部分的难点是：从概念
2、出发进行推理论证,这需要从具体例子引导训练,逐步培养.二重点、难点1.重点在于所有基本概念,特别是引入的新概念.2.难点是可逆映射、整数的整除性、数学归纳法本身的证明.1．1集合一教学思考1．集合可以作为不定义的概念来处理,有些教材上给出了一个简单刻化.2．确定一个集合A,就是要确定哪些是集合的元素,哪些不是集合的元素.说明一个集合包含哪些元素时,常用“列举法”、“示性法”（描述法）.3．中学代数大部分的内容是计算,因此一开始遇到证明题时,往往不知从何入手,此需注意培养学生的推理能力,这里应通过证明“集合相等”来加强这方面的训练.4．为稍拓宽知识,可讲解一下补集、幂集等
3、概念.二重点、要求1．重点、难点：卡氏积的概念及从概念出发（集合相等、子集等）进行推理.2．要求：使学生了解有关集合的刻化及运算,培养推理能力.三教学过程1．集合：简称集,在此是一个不定义的原始概念,通常可给出如下描述性的解释：即所谓集合,是指由某些确定的事物（或具有某种性质的事物）组成的集体.其中每个事物称为这个集合的元素.常用大写字母A、B、C表示集合,用小写字母a、b、c表示集合的元素.若a是集合A的元素,就说a属于A,记作,或者说A包含a.若a不是集合A的元素,就说a不属于A,记作aA,或者说A不包含a.常采用两种方法：（1）列举法：列出集合的所有元素（包括利用
4、一定的规律列出无限集）的方法.如.（2）示性法（描述法）：给出集合所具有的特征性质.如表示方程的解集.2．集合的分类（按所含元素的个数分）：有限集：只含有有限多个元素的集合.无限集：由无限多个元素组成的集合.空集：不含任何元素的集合.用表示.约定：是任何集合的子集.3．集合间的关系：（1）设A、B是两个集合.子集：若A的每个元素都是B的元素,则称A是B的子集.（即若）.记作-5-（读作A属于B）；或者（读作B包含A）.相等：若集合A和B是由完全相同的元素组成的,则称A与B相等,记为A=B.（2）性质：（由定义易得）A）；（反身性）B）若；（传递性）C）且A=B.（反对称
5、性）4．几个常用的数集（略）5．集合的运算（由两个集合得到一个新的集合）——交、并、补、卡氏积：设A、B是两个集合（1）并：由A的一切元素和B的一切元素组成的集合叫做A与B的并集,简称并.记作.即.（2）交：由集合A与B的公共元素组成的集合,叫做A与B的交集,简称交.记作.即.（3）余（差、补）：由一切属于A而不属于B的元素组成的集合,叫做B在A中的余（补）集,或称为A与B的差集.记作A-B.即.（4）积（卡氏积）：由一切元素对所成的集合称为A与B的笛卡儿积（简称为积）.其中第一个位置的元素取自A,第二个位置的元素取自B.记为.即.1．2映射一教学思考1．映射是近代数学
6、中的一个基本概念.为使本部分内容更加系统化,可作必要的调整及层次化,按映射的概念（包括相等）及例子、映射的合成、几种特殊的映射来处理.2．概念多且成系列,注意帮助学生弄清概念的实质（包括概念的转述、注释、否定概念的描述、以及新概念与已有概念的联系,如映射的合成是函数与函数的合成的概念的推广）,注意训练从定义验证有关问题（给定一个法则是否为映射、分辨一个映射是不是单射、满射、可逆映射）的方法,语言要准确、清楚、有条理.同时初步领会怎样举例——包括正例和反例（内容与作业中皆有此问题）.二内容、重点、要求1．内容：映射、单、满、双（可逆）映射的概念、映射的合成等.2．重点：映
7、射及有关概念,举例及由定义验证有关问题的方法.3．要求：理解并记住上述概念,学会举例与用定义的条件进行验证问题的方法.三教学过程1．概念与例子定义1.设A、B是两个非空集合,A到B的一个映射指的是一个对应法则,通过这个法则,对于与它唯一对应.例子：（1）对令.（2）.（3）.（4）设A是任一集合,对.这是A到自身的一个映射（称为A的变换）,称为恒等映射（此为恒等变换）,记为.定义2.设都是A到B的映射,若对都有,则称映射与相等,记为.-5-如：.有.2．映射的合成（1）定义3.设是两个映射,对,有,从而,这样,对就有C中唯一的与之对应,就
