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《高等代数最重要的基本概念汇总》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、第一章基本概念1.5数环和数域定义1设S是复数集C的一个非空子集，如果对于S中任意两个数a、b來说，a+b,a・b,ab都在S内，那么称S是一个数环。定义2设F是一个数环。如果(i)F是一个不等于零的数；(ii)如果a、beF„并且b工0,-GF,那么就称F是一个数域。b定理任何数域都包含有理数域，有理数域是最小的数域。第二章多项式2.1一元多项式的定义和运算定义1数环R上的一个文字的多项式或一元多项式指的是形式表达式(1)+角兀+对+…+cinx,1,是非负整数而do，。］®，…都是R中的数。项式(1)屮，q叫作零次项或常数项
2、，qf叫作一次项，一般，q•叫作i次项的系数。定义2若是数环R上两个一元多项式/(对和g(x)有完全相同的项，或者只差一些系数为零的项，那么就说/(Q和g(x)就说是相等几兀)=g(兀)定义3y"叫作多项式a0+ajX+a2x2+•••+anxn,%工0的最高次项，非负整数n叫作多项式<70++a2x2+•••+anxn,aHH0的次数。定理2丄1设/(兀)和g(兀)是数环R上两个多项式,并且/(兀)工0,g(x)HO,那么(0当/(x)+g(x)HO时’护(/(兀)+
3、/Wg(x))=(/"(x))+d"(g(x))。多项式的加法和乘法满足以下运算规则：1)加法交换律：/(x)+g(x)=g(x)+/(x)；1)加法结合律：(f(兀)+g(兀))+方(兀)=/(兀)+(g(/)+力(兀))；2)乘法交换律：/(x)g(x)=g(x)/(兀)；3)乘法结合律：(/(x)g(x)M(x)=/(x)(g(x)力(兀))；4)乘法对加法的分配律：/•(x)(g(x)+〃w)=/(x)g(x)+/(x)/2(x)。推论2丄1/(x)g(x)=o当且仅当/(x)和g(x)中至少有一个是零多项式推论2.1.
4、2若y(x)g(x)=/(x)A(x),且/(x)HO,那么g(兀)=%(兀)2.2多项式的整除性设F是一个数域。/［打是F上一元多项式环定义令/(x)和g(x)是数域F上多项式环/［打的两个多项式。如果存在/［尢］的多项式力(兀),使^(x)=/(x)/z(x),我们说,/(X)整除(能除尽)g(x)。多项式整除的一些基本性质：1)如果/(x)
5、g(x),g(兀)“(兀),那么/(x)
6、A(x)2)如果/?(x)
7、/(x),/z(x)
8、g(x),那么/z(x)
9、(/(x)±g(x))3)如果/?(x)
10、/(x),那么对于/［兀
11、］中的任意多项式g(兀)来说,%(兀)
12、/(兀)g(x)4)果力(兀)/(兀)，i=l,2,3,…仏那么对于打刃中任意®(x),21,2,3,・・・,f,加兀)I(/(兀)佝⑴士/(叭&2⑴土…土/⑴厨⑴)5)次多项式，也就是F中不等于零的数，整除任意多项式。6)每一个多项式/(兀)都能被qf(x)整除，这里c是F中任意一个不等于零的数。7)如果/(x)
13、g(x),g(x)
14、/(x),那么/(x)=cg(x),这里c是F中的一个不等于零的数设/(x),g(x)是两个任意的多项式，并且g(兀)工0。那么/(x)可以写成以下形式/(
15、x)=g(兀)q(x)+厂(x),这里r(x)=O,或者厂(兀)的次数小于g(x)的次数。定理221设/(兀)和g(x)是/胡的任意两个多项式，并且g(兀)工0。那么在/［兀］屮可以找到多项式g(x)和厂(兀)，使(3)/(x)=16、)是/(x)和g(x)的任一公因式，那么由仁3(兀)二《一2(兀)(兀)+也S)'匸2(兀)=也(兀)么(兀)+«(兀)，/;_!(%)=r(x)^+1(x)中的第一个等式,刃(兀)也一定能整除斤(X)。同理，由第二个等式,/l(x)也一定能整除r2(x)o如此逐步推下去，最后得出力(兀)能整除rk(x),这样，rk(x)的确是/(兀)和g(x)的一个最大公因式，这种求最大公因式的方法叫做展转相除法。定义2设以g{x)=x-a1^/(x)=anxn+an_xxn~l+•••+4-a0吋，所得的商q(兀)=仇_区1+仇_2兀心+・
17、・・+b］X+b()及余式r(x)=c0,比较,(x)=g(x)q(x)+r(x)两端同次幕的系数得bni=an,bn_2=an_t+ab,,^,…b()=q+abx,c()=a()+ab{},这种计算可以排成以下格式ad"an-an-2…d
18、Q()+)"“_
